OM OM

les deux courbes seront dites semblables et semblablement placées; k sera le rapport de similitude; les points O, O,, M, M,... seront homologues. A chaque point du plan de la courbe C correspondra un point homologue de la courbe C, , car soit I un point quelconque du plan de la courbe C , joignons 01 , puis menons par 0, une parallèle à 01, et prenons

sur cette ligne le point I, tel que l’on ait = fc, je dis que les points I

et I, seront des points homologues et qu’ils peuvent tenir lieu des points primitifs 0 et 0, ; effectivement, les rayons vecteurs IM, IM',... sont évidemment parallèles i I,Mt, r,M', et on a de plus :

LMi-ïiEi -k '

IM l'M'

Lorsque deux points homologues se confondent en un seul, ce point unique est dit le centre de similitude des deux courbes. Ce centre de similitude est évidemment le point de rencontre C de deux droites telles que 00, et II, qui joignent deux points homologues; on démontre dans les éléments de géométrie que les droites CM, CM' ."fassent respectivement par les points M, , M’, ,

Il est aisé de voir que les tangentes en deux points homologues des courbes C et C, . sont parallèles; en effet, les triangles OMM', 0,M,M', ont les côtés parallèles chacun à chacun ; or le parallélisme des côtés MM', M,M', continuera d’avoir lieu, si les points homologues M' et M', se rapprochent indéfiniment des points M et M' ; or à la limite ces deux lignes deviennent des tangentes.

877. Deux figures semblables et semblablement placées étant données, si l’une d’elles est fixe et qu’on fasse tourner l’autre dans son plan , la similitude de position sera complètement détruite, mais la similitude de forme continuera d’avoir lieu. Il est très-aisé, d’après ce qui précède, de reconnaître si deux courbes données par leurs équations sont semblables.

Soient . .

ft*, V)=0 et E(x, y)— 0,

lès équations de deux courbes situées dans un même plan dn dans dés plans parallèles. Nous supposerons que les axes auxquels la première courte est rapportée soient rectangulaires et parallèles à ceux qui se rapportent à la seconde courte. Supposons les deux courbes semblables et semblablement placées, et soit k le rapport de similitude; soient x0 yo le point du plan de la seconde courbe homologue de l’origine relative à la première courbe; x’, y' un point quelconque de cette courte , (r, y) le point homologue de la première, on aura évidemment, par de simples triangles semblables :

Donc les équations (1) et (2) seront identiques quand on aura mis dans la première — — au lieu de x, au lieu de y. Supposons par

, K rf

exemple qu’il s’agisse Uc deux courbes du second degré :

At/’+ Rry-fCrf-f Dy+ E*+ F=0, A'y*+ B'*y+C'ï*-f D'y 4- E'i + F'=0.

APPENDICE. 359

En taisant la substitution indiquée dans la première, elle devient :

Ay* + Bxÿ + Cx*+ (D* — 2Ay0— B*o'y + (Ëfc— 2Cx0— By,)* +

Ay’o + B-Coyo -4- Cx*o — kDy0 — k Fl® -f- Fie* — 0.

Cette équation devant être identique à l’équation (2), on a le» cinq relations :

A Dk — 2Ay0— Bj»

A Ek — 2Cx„ — By,

A Ay*,+ Bx^»+ Cn,+ kDy,— kEz0 + Fk»

On a ici trois inconnues x„, y0 et k; il y aura donc deux conditions de simiiitnde qui sont :

Les trois dernières équations , écrites plus haut , serviront à déterminer x0, y„ et k.

11 résulte de là que deux ellipses dont les axes sont proportionnels sont semblables, La même chose a lieu pour deux hyperboles dont les axes sont proportionnels. Seulement ici il faut distinguer le cas où les axes transverses sont homologues, et le cas où l'axe transverse de l’une est l’homologue de l’axe non transverse de l’autre. Dans le premier cas, tout se passe comme pour l’ellipse; mais dans le second cas, le rapport de similitude est imaginaire; les deux hyperboles satisfont bien à la condition analytique de la simitude, mais elles ne sont pas semblables au point de vue où l’on se place ordinairement dans les spéculations géométriques. On peut dire que chacune d’elles est semblable à la conjuguée de l'autre. On voit enfin que toutes les paraboles sont semblables.

On trouvera très-aisément les conditions pour que deux courbes données soient semblables seulement de forme-, il suffit effectivement pour

«TF

cet objet de faire tourner l'une des deux courbes dans son plan d’un angle Indéterminé a, de manière à rendre les courbes semblablement placées. Cela équivaut évidemment à changer dans l’une des équations proposées x en {x cos a — y sin a) , y en (* sin a 4- y cos a) ; on suivra ensuite la marche que nous avons indiquée. En appliquant ceci aux équations du second degré , on retrouverait les conditions déjà obtenues.