UN AXE EST ÉGALE A LA PROJECTION UE LA LIGNE RESULTANTE
278. On nomme projection d’un point A, sur une droite x'x , le pied a, de la perpendiculaire abaissée de A sur x'x. Cette projection a est aussi le point de rencontre de x'x avec le plan mené, perpendiculairement à cette droite, par le point A. t
La projection d’une droite finie AB s\>r une droite x'x est la partie ab de x'x , terminée par les projections « et b des extrémités de AB.
Théorème. La projection d'une droite finie AB ( fig. 144 ) sur une droite x'x est égale au produit de AB par le cosinus de l'angle que forment les droites AB et xx.
Soient M et N les plans perpendiculaires à x'x menés par les points A et B; n et b les points où ces plans coupent x'x-, ab sera la projection de AB. Abaissons du point A la droite
AC perpendiculaire sur le plan M et joignons BC ; les droites AC et ab seront égales, comme parallèles comprises entre plans parallèles. On aura donc , par le triangle ABC,
Hg. 144. .
ab = AB cos BAC ,
ce qui démontre le théorème énoncé.
279. Dans les applications de la théorie des projections , il ‘y a lieu de distinguer deux directions différentes, nonseulement sur la ligne projetante, mais encore sur la ligne que l’on projette. Les projections que nous aurons à considérer pourront ainsi être positives ou négatives, et pour que leurs signes soient déterminés sans aucune ambiguïté, nous adopterons la détinition suivante :
La projection, sur une droite de direction x'x, d’une droite finie AB dont ta direction est celle d’un mobile qui se mouvrait de A vers Bs est égale au produit de la distance AB par le amnus de l’angle aigu, droit ou obtus, que forment les
directions AB et x'x. k
11 résulte de cette détinition que les projections de AB et de BA sur x'x sont égales et de signes contraires : pareillement , les projections de AB ou sur x'x et sur xx sont égales et de signes contraires.
Si l’angle des directions AB et x!x est aigu il est évident
ir
THÉORIE DES PROJECTIONS
que la projection ab de AB a la même direction que x'x, et, d'après noire définition, elle est positive; au contraire, si l’angle des directions AB et x'x est obtus; la projection de AB, qui est négative, a la direction de xxf.
Remarquons enfin que les projections d’une même droite sur des directions parallèles sont égales entre elles.
2110. Théorème fondamental. La somme des projections des côtés d'un polygone fermé sur une direction quelconque est nulle ; la direction de chaque côté étant celle que suit un mobile qui parcourt le polygone en marchant toujours dans le même sens.
Soit ABCDEF (fig. 145) un polygone fermé, plan ou gauche;
à, b, c, d, e, f, les projections de ses sommets sur la droite donnée, de direction x'x. Imaginons un mobile parcourant le polygone dans le sens ABCDEF, puis un second mobile constamment placé sur la projection du premier. Pendant que le premier mobile parcourra les Côtés AB, BC, CD, DE, EF et FA, le second décrira les lignes ab, bc, cd, sf, fa; 1# somme algébrique de ces dernières, lignes est évidemment nulle, car, après ffîs avoir successivement décrites, la mobile revient à son point de départ; or ces lignes ab, bc...... prises avec le signe qui leur convient, sont
précisément les projections des côtés AB, BC, ; donc la
somme de ces projections est égale à zéro.
Corollaire. Les projections, sur une direction quelconque, de deux contours polygonaux ABCD, ABC'D ( fig. 146),
fl*. M5.
terminés aux mêmes extrémités A et D, sont égales entre
elles; en effet, la réunion de ces deux contours forme un polygone fermé ; si donc on désigne, par la notation abrégée (AB) , la projection sur x'x de la droite AB dont la direction est
~ — ï indiquée par l’ordre des lettres A
«6.. 46. r et B, on aura: - -
