AXES RECTANGULAIRES EST EGALE AO CARRE DE CETTE DROITE

LA SOMME DES CARRES DES COSINUS DES ANGLES QU’UNE DROITE FAIT AVEC TROIS DROITES RECTANGULAIRES EST ÉGALE A l’ UNITÉ.

281. Soit OM (fig. 147) la droite dont nous considérons les projections ; par le point 0 menons trois droites OA, OB, OC

ÎHÊOHIK UKS PKOJECTIONS.

3üS

respectivement parallèles aux droites de projection données;

ces droites prises deux à deux détermineront trois plans qui seront évidemment rectangulaires; menons parle point M trois plans respectivement parallèles aux trois premiers. On déterminera ainsi un parallélipipède rectangle OAPBRCQM dont O.M sera une diagonale; or si l’on mène OP, le triangle rectangle OMP donnera :

oar =tjp* + MPS = OP* + OC* ;

mais le triangle OAP est aussi rectangle et donne : ÔP“ = ÏÏÂ* + ÂP* = ÔÂ* + ÔB* ;

donc

(1) OM* = ÜÂ’ + OB’ + ÔC*.

Ce qui démontre que le carré de la ligne OM est égal à la somme des carrés de ses projections sur les trois droites OA, OB, OC.

Si l’on joint MA , le triangle rectangle OMA donne :

OA = OM cos MOA.

On aura de même ;

et

OB = OM cos MOB OC = OM cos MOC ;

^ ~ j . ^gtLj

ajoutant les trois équations précédeutes après les avoir élevées au carré , et ayant égard à l’équation (t), il vient :

cos 5 MOA -j- cos 1 MOB -J- cos ’ MÛC = I . *> . '•

Cette équation prouve que la somme des éarrés des cosinus> des angles, que fait une direction donnée avec trois directions ' rectangulaires, est égale à l’unité. A la vérité, notre démonstration suppose que les trois angles soient aigus ,T majfyle théorème est général ; si a, p, 7 désignent les angles formés par une direction quelconque avec trois dire, étions rectangu-

laires quelconques, on a :

cos’a-j-cos,p + cos!Y=l.

fj*

Effectivement si l’un des angles a, 6, 7 est obtus, il suffira, pour rentrer dans les conditions de notre figure, de changer la direction de la droite de projection correspondante dans la direction opposée, ce qui ne produira qu’un changement de signe dans le cosinus.

LA PROJECTION d’une AIRF. PLANE SUR UN PLAN EST ÉGALE AU PRODUIT DE CETTE AIRE PAR LE COSINUS DE l’aNGLE DES DEUX PLANS.

282. On nomme projection d’une aire plane sur un plan, l’aire terminée, par la projection sur le plan, du contour de l’aire donnée.

Cas du triangle.

285. Soit un triangle ABC (fig 148), et supposons d’abord que l'un des côtés, AB, par exemple, soit parallèle au plan de

THÉORIE DES PROJECTIONS

projection ; menons par AB un plan parallèle à ce plan de projection; abaissons la perpendiculaire Ce sur ce plan , menons enfin cO perpendiculaire sur AB, et joignons OC qui, par un théorème connu, sera perpendiculaire à AB.

Le triangle ABc sera la projection de ABC , et ces deux triangles, ayant fig. us. même base AB , seront entre eux

comme leurs hauteurs; on aura donc:

Or

ABc = ABC

or le rapport — est égal au cosinus de l’angle COc, angle

qui est précisément celui que forme le plan du triangle ABC avec le plan de projection.

Supposons, en second lieu (fig. M9), qu’aucun côté du

triangle ABC ne soit parallèle au plan de projection.

Menons par le sommet B un plan MN parallèle à ce plan de projection ; soit A' le point où ce plan rencontre le côté CA prolongé, et tirons BA'.

Désignons enfin par a l’angle aigu du plan ABC et du plan MN. Les projections de ABC et de A' AB seront, d’après ce qui précède, ABCxcosa et A'ABxcosa; mais ABC est la différence des deux triangles ABC, A'AB et sa projection est évidemment la différence des projections de ces mêmes triangles ; par suite, elle a pour valeur ABCxcosa.

Cas d'un polygone.

284. Considérons un polygone P dont le plan fasse un angle a avec le plan de projection. Décomposons ce polygone en triangles T, T',..-- au moyen de diagonales; la projection

du polygone P sera évidemment T co s a -f- T'cosa + , ou

Pcosa.

Cas d’une aire plane terminée par un contour quelconque.