CHAPITRE II

REPRESENTATION D’UN POINT PAR SES COORDONNÉES. — ÉQUATIONS DES LIGNES ET DES SURFACES.

286. Considérons trois droites quelconques Ox, Oy, O z (fig. 1 50) menées par un même point O et qui ne soient pas dans un même plan ; ces droites détermineront trois plans yOs, zOx, xOy. Cela posé , soit M un point quelconque de l’espace ; menons par ce point des plans respectivement parallèles aux trois dont nous venons de parler; on formera un parallélipipède MABC, et la position du point M sera déterminée, si f l’on connaît en grandeur et en signe les longueurs MQ , p MR. MP, ou, ce qui revient

Dg. 150- au même, OA, AP et PM.

Ces trois longueurs sont dites les coordonnées rectilignes du point M. Elles sont positives si leurs directions sont les mêmes que celles des lignes Ox, Oy, 0: ; elles sont négatives dans le cas contraire; on les désigne d'une manière générale

par les lettres x, y, z. Par exemple si les coordonnées d’un point M ont pour valeurs a, b, c , on a pour ce point :

Les droites Ox, Oy, Oz sont dites axes des coordonnées rectilignes. Si les trois angles formés par ces axes deux à deux sont droits, les coordonnées sont rectangulaires. Les plans yz, xz, xy prennent aussi le nom de plans coordonnés.

Quels que soient les axes Ox, 0 y, Oz , rectangulaires ou non, nous dirons que les points P, Q, R sont les projections du point M sur les plans xy, yz et xz. Il est évident que le point M a deux coordonnées communes avec chacune de ses projections et que la troisième coordonnée de cette projection est nulle.

287. Toute équation qui ne renferme que deux coordonnées, x et y par exemple, représente sur le plan xy une certaine ligne PQ; soit P (fig. 151) un point de cette ligne, et menons PM parallèle à Oz. Les coordonnées x et y seront les mêmes pour le point P et pour chaque point M de PM; par suite, l’équation proposée aura lieu pour tous les points de la ligne PM , c’est-à-dire , pour tous les points de la surface cylindrique, engendrée par une droite qui se meut en restant parallèle à l’axe des z et en s’appuyant sur la ligne PQ. Réciproquement, tout point, dont les coordonnées satisfont à l’équation proposée , est sur cette surface cylindrique; en effet, les coordonnées x et y de ce point sont les

fig. 151.

mêmes que celles de sa projection sur le plan xy ; donc cette projection est sur la ligne Py , et , par suite , le point considéré est sur le cylindre. On voit d’après cela que :

Toute équation, qui ne contient que deux coordonnées, représente une surface cylindrique, parallèle à l’axe de mime nom que la coordonnée qui n’entre pas dans l’équation.

Si l’équation dont on vient de parler est linéaire, le cylindre se réduit à iln plan ; par conséquent :

Toute équation du premier deyré, qui ne renferme que deux coordonnées, représente un plan, parallèle à l’axe de mime nom que la coordonnée qui n’entre pas dans l'équation.

Il résulte de là que :

Toute équation du premier degré, qui ne renferme qu’une coordonnée, représente un plan parallèle au plan des deux coordonnées qui n’entrent pas dans l'équation.

Cette dernière conséquence peut être établie immédiatement sur la figure.

288. Théorème. Toute équation à trois variables repré sente une surface.

Soit i( «

une équation à trois variables x,y,z; donnons à e une valeur quelconque c, l’équation proposée devient :

D’après ce qu’on a vu plus haut, l’équation (2) appartient à un cylindre parallèle à l’axe des z; d’ailleurs l’équation

fi / r ’’ '• ' '

appartient à un plan parallèle au plan xy ; donc l’ensemble des équations (2) et (3) représente une ligne plane dont le plan est parallèle au plan xy; il est évident que les points de cette ligne satisfont à l’équation (1); d’ailleurs si l’on fait varier c d'une manière continue, la ligne dont il s’agit variera de position et de forme , ou de position seulement. Dans son mouvement cette ligne engendrera une surface à laquelle appartiendra l’équation proposée.

Corollaire 1. Le syttème de deux équations simultanées à trois variables x, y, z représente une ligne.

En effet, chacune des deux équations appartient à une surface , et le système des deux équations représente l'intersection des deux surfaces.

Il faut remarquer qu’aucune des équations d’une ligne n’est nécessaire ; en effet, soient

les deux équations d’une ligue; on pourra leur substituer deux autres équations obtenues en les combinant entre elles d’une manière quelconque. Si, par exemple, on élimine y entre les deux équations proposées; qu’on élimine ensuite x entre ces mêmes équations, les équations finales

tp(ar,x) = 0, ^[y,z) = 0,

pourront être prises pour celles de la ligne donnée. Chacune de ces dernières équations représente un cylindre et elles donnent immédiatement les projections de la ligne, que l’on considère, sur les plans xz, ys.

Corollaire II. Le système de trois équations à trois variables représente un ou plusieurs points.

289. U est aisé d’établir les réciproques des propositions qu’on vient de démontrer.

Je dis en premier lieu que toute ligne, définie géométriquement, peut être représentée par le système de deux équations ; en effet, si l’on coupe cette ligne par un plan parallèle au plan y s et dont la coordonnée x soit prise arbitrairement, le point d'intersection sera déterminé ; ses coordonnées y et z dépendent donc de x, ou , en d’autres termes, sont des fonctions de xjona donc deux équations :

En second lieu, je dis que toute surface, définie géométriquement, est représentée par une équation ; en effet, coupons cette surface par un plan

parallèle au plan xy ; l’intersection sera une courbe égale à sa projection sur le plan xy; l’équation de cette projection contiendra généralement la quantité c et sera de la forme

L’équation

obtenue en éliminant c entre les équations (1) et (2), aura évidemment lieu pour tous les points de la surface donnée.

290. La géométrie analytique à trois dimensions a pour objet l’étude des propriétés des surfaces et des lignes dans l’espace , d’après les équations qui les représentent.

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291 . On a vu, dans la première partie, combien est importante la théorie de la transformation des coordonnées; nous allons compléter ici cette théorie et établir des formules générales dont se déduisent immédiatement celles qui sont relatives à la géométrie plane.

Changement <F origine. Supposons, en premier Heu, que les nouveaux axes soient parallèles aux anciens et qu’ils aient la même direction. Désignons par x,y, z les coordonnées d’un point relatives aux anciens axes; para:', y',z’ les coordonnées relatives aux nouveaux axes; enfin par o, b, c les coordonnées de la nouvelle origine par rapport aux anciens axes. Par les considérations dont nous avons déjà fait usage (n° 59) , on trouve immédiatement :