Changement de la direction des axes. Supposons que

l’on veuille passer des axes Oa:, Oy, Oz (fig. 152) aux axes Ox', O y', O y ayant même origine O.

Nous désignerons par xf y, z les anciennes coordon nées d’un point M, par x', y', z' les nouvelles coordonnées

fig. ici. du même point ;

ainsi on aura , dans le cas de la figure 152 :

* = + OQ, y = + QP, s= + PM;

X^ + OQ', ÿ=+Qp-, *T= + FM.

Les deux contours OQPM et OQ'P'M étant terminés aux mêmes extrémités 0 et M , si on les projette sur une ligne OX perpendiculaire au plan yOs , on aura :

(OQ) = (OQ') + (Q'F) + (PTM),

en adoptant la notation du n° 280 et observant que les projections de QP et de PM sur OX sont nulles. Or, si la disposition de la figure a lieu, on a (OQ) = x cos XOx , ou, pour abréger,

(OQ) = x cos (Xx). 1 ■

Cette égalité aura lieu encore si le point Q est du côté des x négatives; car alors la grandeur de OQ , au lieu d’être x, serait — x , et, d’autre part, il faudrait substituer à l’angle (Xx) son supplément.

On aura de même :

(0Q') = x'cos(Xx'), (Q'P') = y'cos(Xy'), PTM = x'cos(Xx') ; donc

x cos (Xx) = x' cos (Xx') -\- y' cos (Xy') + s' cos (Xz').

Cette formule donne la valeur de x en fonction de od, y', x' et des angles qui fixent la position des nouveaux axes par rapport aux anciens. On aura de même les valeurs de y et de z, en projetant les deux contours OQPM , OQ'P'M sur deux droites OY et OZ respectivement perpendiculaires aux plans xOz, xQy. On a ainsi les formules :

Îxcos(Xx) = x' cos(Xx') -f- y'cos(Xy') -j- z'cos(Xz') , y cos(Y y) = a:'cos(Ya;'} -f- t/'cos(Y y') + z'cos(Yz') ,

2 cos (Zz) =o/cos(Zx') + y'cos(Zy') + z'cos(Zz').

La démonstration que nous venons de donner est générale et embrasse tous les cas. On en déduit immédiatement les formules de la géométrie plane , en faisant z = 0 , d = 0 et supposant que le plan xy coïncide avec le plan x'y'.

293. Supposons que les anciens axes soient rectangulaires ; les lignes OX, OY et OZ coïncideront avec Oar, Oy, G* respectivement. Si alors on désigne par a, b, c les cosinus des angles que fait Ox avec Oy, Oy' et Oz' ; et par d, b', c'; a", b ", c" les cosinus des angles formés avec ces mêmes axes par Oy et Oz respectivement, les équations (1) deviennent:

(x — ax' -j- bÿ -f- cz' , y = a'x'+ b'y'+ c'z' , z = a"x'+by+c"z'.

Les neuf cosinus, qui figurent dans ces équations (2), ne sont pas indépendants les uns des autres ; il n’y en a que six d’arbitraires; on a effectivement entre eux (n° 281) les trois équations :

294. Les mêmes formules (2) sont aussi relatives au cas où les nouveaux axes sont rectangulaires en même temps que les anciens ; mais cette condition établit trois nouvelles relations entre les neuf cosinus, en sorte qu’il n’en reste plus que trois d’arbitraires. On peut obtenir très-simplement, comme il suit , les trois conditions dont on vient de parler. Pour un

1a1 + di+a"*=i, b* + 6'* -f- b"1 = 1 , c,-f-c,,+ c", = l.

point M situé sur Ox à une distance de l’origine égale à l’unité , on a :

les équations (2) deviennent alors :

0 = ad-\- 66'-|- cc' ,

0 = aa" -f 66" + cc".

On aurait six autres équations en appliquant les mêmes formules (2) à un point de l’axe Oy et à un point de l’axe O z. Cela donne, en résumé, six équations distinctes, savoir :

a* +6* -J-c*=l , lad + bb' +cc'=0,

(4) a'* + 6'* + c” = 1 , (5) ] aa" + 66" + cc" = 0,

Il est aisé d’établir directement et à priori qu’il suffit de trois quantités pour fixer la position de trois axes rectangulaires par rapport à trois autres.

En exprimant x', y', z' en fonction de x, y, z, on trouve évidemment :

x' == ax -f- a'y + a"z , y' = bx + b'y + b"z, z' = cx-{- c'y -j- c"z.

En appliquant ces formules à trois points situés respectivement sur les axes Ox1, Oy', O z' à la distance i de l’origine, on obtiendra les équations suivantes :

/ a1 + a”- + o"! = 1 , lab + db' + o"6" =0 ,

(6) J b'- + b - -f 6"* = 4 , (7) J ac -f de' -f a"c"= 0 ,

Mais il est aisé de s’assurer que le système formé par ces six dernières équations est équivalent au système des six équations (4) et (5).

*95. Formules d'Euler. On peut exprimer au moyen de trois angles seulement les neuf constantes qui figurent dans les formules relatives au passage d’axes rectangulaires à d’autres axes rectangulaires. On obtient

ainsi les formules données par Euler et que nous allons établir.

Soient Ox , Oy . Os les anciens axes rectangulaires; Ox’.Oy', O s' les nouveaux (flg. 153); £ soient enfin ON l’intersection des deux plans xy et x'y'. Nous désignerons par ? l’angle NO®, pari)/ l’angle NO®', et enfin par I l’angle du plan xy et du plan x'y'.

fl*. rsa. Cela posé, imaginons

une sphère décrite du point O comme centre et qui coupe en A, B, C, A' et N les lignes O®, Oy, Os, O®' et ON; formons enfin les triangles sphériques N AA', NA'B, NA'C. Les cosinus des cAtés AA', BÀ', CA' sont respectivement égaux à a, a', a" ; on a d’ailleurs NA = ?, NB=90“ — ?, NA' = i|/, NC = 9ü“, A'NB = 0, A'NA= 180» — 8, A'NC=90“ — 8. On a donc, par la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique :

a =cosçcosi)/ — sincs sin+cosB, a! = sin ? cosij/ + cos? sin 4> cos8 , a"=sim]/sin0.

Il est clair que les valeurs de b se déduisent de celles de a, a', a" en changeant ij/ en 90° + 4', car ce changement fait prendre à O®' la position Oy' ; on obtient ainsi :

6 = — cos? sim)/ — sin? cos i)/ cos 8 , b' = — sin ? sid 4> -f- cos ? eos i)< cos 8 , b" xx cos i)/ sin 0.

Enfin , pour avoir les valeurs de c, c\ c", il sulllt de remplacer, dans les valeurs de a, a', a", 9 par 90°+ 6 et ^ par 90°; eh effet, par ce changement , le plan x'ON se change en y ON et la ligne 0+ en 0*', On obtient ainsi :

c = sin?sin8 , c' = — cos?sin8, c”=cos8. t

Ce qui précède permet de ramener les formules de la transformation des coordonnées à ne contenir que les trois angles o , »|/ , 9.

Î1H; Manière d'obtenir l’intersection d’une surface par un plan. Pour avoir l’intersection d’une surface par l’un des plans coordonnas , le plan xy par exemple, il suffit de faire 2 = 0 dans l’équation de la surface. Supposons maintenant qu’il s’agisse d’avoir l’intersection d’une surface :

par un plan quelconqne ; nous supposerons les axes rectangulaires et nous changerons de coordonnées en prenant pour plan des xy le plan donné. Les formules à employer sont alors ;

x=x0 + ax" + by' + cx', y = ÿ0 + aV + by + c'i' ,

2o,y<,, Xo étant les coordonnées de la nouvelle origine. Or, si l’on a pria l’axe des x' parallèle au plan xy, on a <{<=0; et, si l’on fait en outre *' = 0 , les formules précédentes deviendront :

X=*, + x'cosf — y'sinçcosO , y = yo + *' S in <p + y' cos ? cos B ,

*=X0 + tr'8in».

Après la substitution de ces valeurs dans l’équation proposée, cette équation représentera l’intersection demandée.

297. Les formules , qui expriment les coordonnées relatives à trois axes, en fonction de celles relatives à trois autres axes, sont linéaires; il s’ensuit que le degré d’une équation

algébrique à trois variables ne change pas par la transformation des coordonnées. Cela conduit à classer les surfaces algébriques d’après le degré de leur équation. Ainsi une surface sera du premier, du deuxième, etc., degré, suivant que l’équation qui la représente sera elle-même du premier, du deuxième, etc., degré. 11 s’ensuit qu’une surface du degré m ne peut rencontrer une droite en plus de m points; en effet, si l’on prend la droite dont il s’agit pour axe des x , on aura les abscisses x des points d’intersection en faisant y—0 et z=0 dans l’équation de la surface; or l’équation résultante est au plus du degré m et ne peut avoir plus de m racines réelles, ce qui démontre la proposition énoncée. Il faut cependant remarquer le cas où l’équation proposée se réduirait à une identité; alors la droite serait contenue tout entière dans la surface.

Remarquons encore que les sections planes d’une surface du degré m sont généralement des courbes de ce même degré ; en effet, si l’on prend pour le plan xy celui d’une section faite dans une surface algébrique de degré m , on obtiendra l’équation de la section en faisant 2=0 dans celle de la surface. Le degré de l’intersection sera donc en général égal à m. Toutefois il pourra être moindre que m , dans quelques cas particuliers; car l’hypothèse 3 = 0 peut faire disparaître tous les termes du degré m. Il peut même arriver que tous les termes de l’équation disparaissent; mais, dans ce cas , le plan 2 = 0 fait partie de la surface considérée et l’équation de celle-ci se décompose en facteurs.

DK I.A LIGNE DROITE ET DU PLAN

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