Supposons qu’il s’agisse de faire passer un plan par

trois points donnés [x',y',zr], [x", yv, z") , {x'", y“\ z* j . Soit

(1) Aar + By + Cx + D^O,

l’équation du plan demandé. Ce plan passant par le point ~ ( x y', z') , on aura t*

' ■ A«'4-Bf,+ C*' + D=0;

' DE LA LIGNE DHOlTE ET DU PLAN. 387

tirant dé cette équation la valeur de L>, pour la porter dans

l’équation (1), celle-ci devient :

(2) / A[x— ar'l + Bîy— ÿ)-f G(z— * *')=0;

elle est alors l’équation générale des plans qui passent par le point (af, y', z'). Mais, puisque le plan représenté par l’équation (2) doit contenir le point ( x ", y1', z"), on aura :

A(Js" - *') + B(y" - y’) + G(^ - z’) = 0 j

si l’on tire de cette équation la valeur de B pour la porter dans l’équation (2) , il vient :

cette équation (3) est celle des plans qui passent par deux points donnés. Si le plan qu’elle représente passe en outre par le point (xw, y"', z"), on aura :

+Cl(y"-y')(*'"-A')-(^-^)(l/','-î/')]=0;

si l’on tire de cette équation la valeur de A pour la porter dans l’équation (3), il vient :

Telle est l’équation du plan qui passe, par les trois points donnés; .. . • . • ,

Remarque. Il est aisé de s’assurer que cette équation se

réduit à une identité dans le cas où les trois points donnés sont en ligne droite, auquel cas le problème est indéterminé.

308. Nous allons traiter par d’autres considérations le cas particulier, où il s’agit de faire passer un plan par trois points respectivement donnés sur les trois axes ; cela revient à trouver l’équation d’un plan, connaissant les points où il eoupe les axes des coordonnées. Soit

A,r + By + Cz + D = 0,

l’équation du plan ; si l’on y fait y = 0 et z — 0 , il vient x=— r 5; nous désignerons par a cette valeur de x qui

est donnée, et l’on aura : A = — - ; on trouvera de même :

B = — -, G — — — ; 6 et c étant des quantités /données.

Mettant pour À , B, C ces valeurs dans l’éqüotion du plan, il vient :

•, . X + yr + - = i. :-x"

L’équation du plan sous cette forme est souvent employée. 506. Si deux plans

(1) Ax-f.By-fCz-j- D^O, ■

sont parallèles, leurs traces sur les plans coordonnés sont aussi parallèles. Les traces des plans (1) et (2) sur le plan xy ont pour équations :

a AJîr|-^-|-D=0,

• A'æ + B'y+ XV = 0; • : i •

DE LA UGftE DROITE ET DU PLAN. m

pour que ces deux droites soient parallèles, il taut et U suffit que l’on ait :

On peut conclure de suite que si les plans (1) et (2) sont parallèles, on a .

Réciproquement, si ces conditions ont lieu, les plans fi) et (2) sont parallèles, puisqu’ils contiennent respectivement vieux angles dont les côtés sont parallèles.

En résumé, pour que deux plans soient parallèles, il faut et il suffit que les coefficients des variables soient proportionnels; et, comme on est maître de disposer à volonté de fun des coefficients, on peut dire que les condition^ du parallé- lisme de deux plans consistent dans l’égalité des coefficients des variables. Cela posé, supposons qu’il s’agisse de mener par un point (xf, y', z’) un plan parallèle à un plan donné

• ! . Ax-|-Bt/-|-C*-j-:D=iO.

D’après ce qui précède, le plan demandé aura une équation de la forme : • ' , ;

Aar-fBÿ + Cs! + D' = 0.

On déterminera D’ par la condition que le plan demandé passe par le point (x1, y', z'), et alors l’équatioo de ce plan •sera : „ - . .

/ ' A(x— y')+.C(z— z')=xO.