CONNAISSANT LES COORDONNEES DE DEUX POINTS, TROUVER , LEUR DISTANCE

310. La solution de cette question se déduit immédiatement de la formule qui fait connaître l’expression de la diagonale d’un paralléfipipède donné. L’expression dont il s’agit a été obtenue (n* 281) pour le parallélipipède rectangle. Nous allons traiter la même question pour le parallélipipède ^ oblique. Soit le parallélipipède OABCO'A'BC’ (fig. 156). Désignons par a, b, c les arêtes contiguôs OA, OB, OC'; par a, 6, y les angles BOC', C'OA et AOB que forment ces arêtes. La llgüre OCO'C' est un parallélogramme, par suite la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des quatre côtés ; on a donc :

00' -H CC' =r*c -f 20C*;

mais le triangle OAC dônne : .

OC* = a’ -f- 6* — 2a6 cos OAC = as -f- b1 -f- 2 ab cos y;

donc , . 1 •

(1) (W1 -f CC'! = 2a’ -f- W 4- 2C1 -f iab cos y.

■ Digiiized by'Gôogle

UK LA LIGNE DROITE ET DU PLAN

On trouverait d’une manière semblable :

(2) Ôtf’ + BB'^âa’ + 263 + 2c* + 4accos6,

et

(3) + CC'* = 2 a1 + -26* + 2c1 — 46c cos a;

si j’on ajoute les équations (1) et (2) et qu’on retranche du résultat l’équation (3), il viendra, en désignant 00' par d:

d* = a* -j- 6* + c1 + -06 cos y + 2ac cos 6 -(- 26c cos a.

5ii. Supposons maintenant qu’il s’agisse de trouver la distance d de deux points A(x, y,z),B[x', y', z') ; nous désignerons par a, 6, y Jés angles yOs.xOz,xOy. Cela posé, menons par chacun des points A et B trois plans parallèles aux plans coordonnés ; les arêtes contiguës de ce parallélipipède .seront égales aux valeurs absolues de x — x',y — y', s — z') en outre, si ces différences spnt positives, les angles, formés avec les axes par les côtés du parallélipipède qui partent du point A, seront a, 6, y. On aura donc :

= [x — ai)' + (y — ÿ')*-j- (z— z')’ + %x— x') [y— y') cos y -J-2(a5 — x'\(z — z') cos 6 -j- 2(y — y')(* — z') cos a.

La même formule aura lieu , si les différences ne sont pas toutes positives ; en effet, si x — x' était négatif, il faudrait changer son signe dans la formule que nous venons de trouver ; mais il est évident qu’il faudrait en même temps changer 6 et y dans leurs suppléments , ce qui ne produit aucun changement dans l’équation. On voit ainsi que la formule précédente est générale ; cette, formule, dans le cas des coordonnées rectangulaires , se réduit à :

m GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS.

n’ts POINT DONNÉ ABAISSER UNE PERPENDICULAIRE SCR UN PLAN J TROUVER LE PIED ET U GRANDEUR RE LA PERPENDICULAIRE (coordonnées rectangulaires).

512. Pour qu’un plan soit perpendiculaire à une droite, il faut et il suffit que les traces du plan sur deux plans perpendiculaires soient respectivement perpendiculaires aux projèctions de la droite sur ces plans.

Soient • • . ■

Ax By -j- Cz + D = 0 ,

l’équation d’un plan et

a:=a* -f p, y = bt + q

les équations d’une droite. Les traces du plan sur les plans xz, y z auront pour équations : >

Aæ + C* + D=0, + Ce + D=0.

Les conditions de perpendicularité sont donc ;

A — Ga = Q, B— C6 = Q. ;

513. Supposons qu’il s’agisse de mener par un point (a;', y', z!) une droite perpendiculaire au plan

(I) Àa; + Bÿ+C* + D=*0.

Les équations de la droite seront de la forme

x~~ x‘=a(z — z') , y—y'z=b(z-^- tf)y

et, puisqu’elle doit être perpendiculaire au plan donné, on

DK LA LIGNE DROITE ET DU PLAN

Les équations de la droite demandée sont donc :

Pour avoir l’intersection du plan donné avec la droite (2) , nous écrirons l’équation du plan sous la forme :

(3) A(x-x')+B(y— y'j+qz-z')+(Aa?'+%,+G:'+D) =0.

Des équations (2) et (3) on tire ;

C(A^+1¥+Cs'+D).

A’+lP-fC*

cette formule fait connaître la coordonnée z du point d’intersection demandé. Les équations (2) donnent ensuite x et y.

Désignons par d la distance du point donné au plan donné ; on aura :

ou , à cause des équations (2) et (4) ,

(A*'+By'+Cz'+D)!

et

A* + B‘ + C* Ax'-f-By'-f-Cz'+D

yA4-(- B!-f C*

Remarque I. Si l'on supprime les accents dans l’équation précédente , il vient :

• . Aar+By+Cz + D;=dy'Al+B*+G1-

Ce qui montre que le premier membre de l’équation d’un plan , quand on y remplace x, y, z par les coordonnées d’un

point quelconque de l’espace, est proportionnel à la distance

de ce point au plan.

Remarque II. Si l’on prend l’équation du plan sous la forme

Æcosa+ycosê + zcosY — p—0,

la distance du point [x,y,z) à ce plan sera simplement : -

:±(a;cosa-t-ÿcos6-f-.ïcosY — p).

Remarque III. Pour mener, par une droite donnée, un plan perpendiculaire à un plan donné , il suffit de mener par la droite donnée un plan parallèle à une droite perpendiculaire au plan donné.