Soient Ou et Ou' deux droites données (fig. 157J

désignons par a, 6, y les angles que forme Ou avec les axes des coordonnées ; par a', 6', y' les angles que forme Ou' avec ces mêmes axes; enfin par 0 l’angle uOu'. Prenons sur Ou une distance OM égale à l’unité linéaire} abaissons MP perpendiculaire sur le plan xy et PQ perpendiculaire sur Oæ. Les projections sur Ou' du contour 0QPM

* jw

Bg. 157.

ÎOft GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS.

et de la ligne résultante OM sont égales. Gn a donc , d’après la notation déjà employée :

- (OM) = (OQ) -j- (QP) + (PM).

Or OQ=±cosa; et, si le signe + a Heu, l’angle «'OQ est égal à a', tandis que cet angle est égal à 180"— : a' dans le cas contraire. La projection (OQ) est donc égale, dans tous les cas, à cosa cos a' ; on verrait de même qHe les projeciions (QP) et (PM) sont respecti vement cos 6 cos S', cos y cos y' ; d’ailleurs (OM) est évidemment égale à cos 9 ; donc

cos 6 == cosa cosa' -)- cos ê cos 6' cos y cos y.

Supposons maintenant que les droites données aient pour équations :

x—az , x=a'z ,

y — bz ; y = b' z.

On a:

cosa =

v/as+6*+l de même :

cosa=-

, cos6=

. > cosy— ■ ,

va"+6'2+l

Donc ",

' cosO = -

, COsê'=

ao'+66’-)-l .

, COSf = -

v'as+6!+l v,a'-+6'!+l

Remarque I. Si les droites données sont perpendiculaires l’une à l’autre, on a cosO=0; et, par suite, la perpendicularité des deux droites est exprimée par l’une ou l’autre des

DE LA LIGNÉ DROITE ET DO PLAN. 401

deux équations : ,

COS a COS a' -{- COS 6 COS# -f- COS q COS y 1 = 0 , aa -|" 66’ -)- '1 — — 0.

La première de ces conditions s’est déjà présentée immédiatement à nous dans la théorie de la transformation des coordonnées. '

Remarque II. On trouve aisément que la valeur de sinô est :

-inO ^a-°'),+ (6-6T+K-6«T

Pour que sin6 soit nul, il faut et il suflit que l’on ait: a — a', 6 = 6'.

On retrouve ainsi les conditions, déjà obtenues, du parallélisme de deux droites. '• ,

CONNAISSANT L’ÉQUATION d’un PLAN , TROUVER LES ANGLES Qu’iL FAIT AVEC LES FLANS COORDONNÉS (COORDONNÉES RECTANGULAIRES).