Soit

l’équation d’un paraboloïde hyperbolique; on peut l’écrire comme il suit :

(fr+7f)

en voit alors qu'elle peut s’obtenir par l’élimination de l’indéterminée^ entre les deux équations :

VA VP' VP \PV

ou par l’élimination de jx entre les deux éqûations :

v'p \/F tA’ \fp i/F 14 ' ,

En considérant X et jx comme deux paramètres variables,

les équations (2) et (3) représenteront deux systèmes de droites qui seront toutes situées sur le paraboloïde.

364. Deux droites d'un même système ne sont pas dans un mime plan. ’1 .

$ôient : • ,r

'Xj„L-2x* j( jü i' -m*-

SHgjaBÉl

les équations d’une droite du système (X). L’éqnation générale des plans qui passent par cette droite sera :

Si l’on élimine y et z entre cette équation et les équatiàn's :

’ </p Vp' ' : ’■ y/p Vp' V* • .

d’une seconde droite appartenant au système (X) , il viendra :

' ; 2aj(X'X)-f.m(i-i)=0; . .

pour que la droite soit tout entière contenue dans le plan , il faut que la précédente équation ait lieu quel que soit te; cela exige que l’on ait X’ — X. Il s’ensuit que deux (boites, du système (X) ne sont pas dans un-même plan. •>. ‘

SURFACES DU SECOND DEGRE

On démontrerait de la même manière que deux droites du système (p) ne sont jamais dans un même plan et, par suite, qu’elles ne peuvent jamais se rencontrer. ,

Deux droites de systèmes différents sont toujours dans un même plan. • •

En effet, soient les deux droites : .

< JL + J=U 1 L—^

i/p \fp' fp vÿ *

L’équation générale des plans qui passent par la droite (>) est :

(±+JL-^) + m( JL-L~'\=o.

. Vvp / Vv> èt V,

Si l’on élimine y et x entre cette équation et celle de la droite (p), il vient: '

or, pour que cette équation soit identique, il suffit de prendre d’où il suit que les deux droites que nous considérons sont dans un même plan.

565. Par chaque point ( x y', z’) du paraboloïde on peut tracer une droite du système {X) et une droite du système (p).- En effet , puisqu’on a, par hypothèse :

ï 7 = îx',

on pourra trouver une valeur de X et une valeur de p telles

que l’on ait :

iï+7ï'=*X'’ = ^

VP VP'"r

iL-Ji- !£

VP vp' !A

tes paramètres X et p étant ainsi déterminés, les équations

JL + * = 2Xx,

VP vV

V'p Vp' :

seront celles de deux droites tracées sur la surface et passant par le point (af, y', z').

Tonte droite tracée sur le paraboloïde appartient nécessairement à l’un des deux systèmes dont nous venons de constater l’existence; on s’en assure en répétant textuellement, le raisonnement que nous avons fait au sujet de ï’hyperboloïde (n° 358). , . '

566. tes droites, que l’on peut tracer sur le paraboloïde y* „

forment ainsi deux systèmes; celles de l’un des systèmes sont évidemment parallèles au plan .

' * JL * J/i ’ * >' '

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SURFACES DU SECOND DEGRÉ. 453

et celles de l’autre système au plan

fp+ÏÏ~°'

Soient L, L', L" trois droites appartenant au même système ; toutes les génératrices de l’autre système les rencontreront. Or, si une droite mobile est assujettie à rencontrer trois droites fixes, le mouvement de cette droite est déterminé ; d’où il suit que le paraboloïde hyperbolique peut être engendré par une droite qui sé meut en s’appuyant sur trois droites données parallèles à un même plan.

Si au lieu de trois droites appartenant au même système, on en considère deux seulement L et L', les droites du second système qui les rencontrent toutes deux sont en outre parallèles à un plan fixe. Or le mouvement d’une droite est déterminé par la condition que cette droite rencontre deux droites fixes et reste parallèle à un plan fixe. Donc le paraboloïde hyperbolique peut être engendré par une droite mobile qui s’appuie sur deux droites fixes et reste parallèle à un plan fixe. ' - .

Le plan fixe est appelé plan directeur, les droites fixes directrices et les droites mobiles génératrices. Aussi emploie-ton la dénomination de génératrices rectilignes pour désigner les droites qu’on peut tracer sur la surface du paraboloïde hyperbolique. On leur donne aussi le nom de sections rectilignes , parce que deux droites appartenant à deux systèmes différents constituent la section du paraboloïde par un plan.

367. Nous allons démontrer les réciproques des propositions que nous venons d’établir.

Lorsqu'une droite glisse sur trois droites fixes, parallèles à un même plan, elle engendre un paraboloïde hyperbolique.

Soient Ox, AB et CD (tig. 167) les trois droites données ’ parallèles à un même planj

/ nous prendrons pour axe dèâ z

une droite qui rencontre le»

. , 7 \ trois droites données, pour axé

, Sj V„ des x l’une de ces droites,

fjjier / Ox par exemple, *t pourajsé

R' / " * des ÿ une droite Oÿ parallèle è

V l’une des deux autres droites

'* • données AB; fe droite CD fiift»,

«g. i67. ‘ , par hypothèse, parallèle au

plan xy; les équations des droites données seront : <

Soient en outre

les équations d’une droite B qui s’appuie sur les trois droites données. Les conditions pour qu’il y ait rencontré sont ;

y = 0, mh+p—Q, a(nà+p) = nk+q.

Si l’on élimine m, n, p, q entre ces équations et celles de la génératrice, on obtiendra l’équation de la surface engendrée, savoir:

— «(t — è) xz — khyz=.Q.

Cette équation est du second degré , et on voit immédiatement que la surface qu’elle représente n’a pas de centre ; il s’ensuit que cette surface est un paraboloïde hyperbolique.

SURFACES DU SECOND DEGRÉ

Effectivement il est clair qu’on ne peut tracer aucune droite sur le paraboloïde elliptique , et d'ailleurs toutes les droites tracées sur le cylindre parabolique sont parallèles.

568. Lorsqu’une droite glisse sur deux droites fixes et reste parallèle à un plan fixe, elle engendre un paraboloïde hyperbolique.

Soient AP et BQ les deux droites données (fig. 168). Nous

prendrons pour plan xy \e v. un plan parallèle au plan

r \ j /y directeur donné; pour \ \ / / / axe des y la droite qui

\ " ”/'// joint les points d’interseo-

\ \ /v^,. tion P et Q de ce plan avec

\ " — ! T~ les droites données; pour

origine le milieu 0 de PQ ; pour plan ®z le plan mçné ng. »68. par O parallèlement aux

deux droites données, ce qui détermine l’axe des®/ enfin menant OA’ et OB’ parallèles respectivement aux droites données AP et BQ , puis coupant ces parallèles aux points R et H par une droite RH parallèle à 0®, nous prendrons pour axe des z la droite 01 qui passe par le milieu de RH. Cela posé, les équations des droites données seront:

La génératrice étant parallèle au plan xy, ses équations seront: . ‘ ' • 1 * .*

pour que cette droite rencontre les deux droites données^ il

faut que l'on ait ‘

h = mak -J- n , — h= — mak-\-n-.

n — 0, h — mak.

Éliminant m, n et k entre ces deux équations et celles de la génératrice , il vient pour l’équation de la surface :

Cette équation est celle d’une surface du second degré dénuée de centre et qui ne peut être qu’un paraboloïde hyperbolique. * ' ' , <•

EXERCICES

. . Questions à résoudre.