Nous allons démontrer que réciproquement

Lorsqu’une droite glisse sur trois droites fixes , non situées deux à deux dans un même plan et non parallèles à un même plan, elle engendre un hyperboloïde.

Soient A , 15, C les trois droites données (tig. ltiti) ; menons par chacune d’elles deux plans respectivement parallèles aux deux autres; ces six plans détermineront un parallélipipède dont nous prendrons le centre 0 pour origine des coordonnées; quant aux directions Or, Oy , 0 s des trois axes, nous les choisirons parallèles aux droites A , B , G respectivement. Cela posé , en désignant par 2 a, ib . 2 c les longueurs des

arêtes du parallélipipède , les équations des droites données seront: • . . : ; V

Soient :

liR. >66.

(1) x = mz^-p, (2).,! I = ns + q,

les équations d’une droite G qui rencontre A , B , C. Les conditions, pour qu’il y ait rencontre , sont :

— *t)=nc-\-q, '

<t——mc+p, > • ,•. ■ •

v fâjgœ*

On aura évidemment l’équation de la surface engendrée par la droite G, en éliminant m,n,p,q entre les cinq équations (I), (2) , (3), (4), (S); l’élimination de p et f donne d’abord

<- SURFACES DU SECOND DEGRE. 447

«(* — c), x — a=m(j-fe), n(a; + 0) = w(y — 6);

enfin , éliminant m et n entre ces trois dernières équations , il vient : , .

(« 4- «) (y + b) (z 4- c) — [x—a] [y — b) '(s—c) = (V ou

ays -f- bxz -f- cxy 4 abc = 6.. \

Cette équation est du second degré et elle a un centre unique; c’est donc un hyperboloïde à une nappe, car il est évident que l’ellipsoïde et l’hyperlioloïde à deux nappes ne peuvent pas admettre de génératrices rectilignes.

.■>(>2 . 11 est bon de remarquer le cas particulier de l’hyperboloïde de révolution à une nappe ; cette surface peut évidemment être engendrée, en faisant tourner autour de l’axe de révolution l’une quelconque des droites contenues dans la surface. Ici l’ellipse de gorge se réduit à un cercle et le cône asymptote est un cône droit.

Il est aisé de démontrer que: réciproquement, si une droite tourne autour d’un axe fixe non situé avec elle dans un même plan , cette droite mobile engendrera un hyperboloïde de révolution à une nappe.

En effet, prenons pour axe des s l’axe de la surface, pour axés des x et des y deux droites rectangulaires, situées dans le plan que décrit la plus courte distance de la génératrice à l’axe. Soient MP l’une des génératrices et M le point où cetté génératrice rencontre le plan xy. Désignons par r la longueur 'donnée OM qui est la plus courte distance de la génératrice à l’axe; par <*> l’angle variable MOx; enfin, par a, 6, y les angles formés par la génératrice avec les axes ; l’angle y est constant, les angles a et 6 sont variables.

Les coordonnées du point M sont : . •

x — rcosi» , ytsifsinw ,X—0; „. . >

par suite les équations de lit droite MP sont : * V . '

x — reosto y — rsinw

COS a

Cela posé , on a

cos6 cosf’

cosîa-j-cos,6 4-cos!Y=:: L; *

en outre, la droite MP étant perpendiculaire sur OM, qui fait avec les axes des angles dont les cosinus sont oqsu), sinti» et zéro, on a ' ' v . • • : .

cosàcosw + cOs6sirito = (),

ou

cos a COS 6 V'I’0S!a + COSf6

: — sittY;

smio cos<u I

par suite, ‘

cosa = ±.sinYsinw, - cos6 = rpsinY cosu. - ‘ ■

Les équations de la génératrice deviennent alors :

x — ±5 tangY sinu -j- r cosw, y = qz z tangY cosid -f- r sin w;

elles ne renferment plus que le seul paramètre variable u>. On élimine u> entre ces équations, en les élevant au carré et ajoutant ensuite : il vient ainsi : ?

•** + V* ~7 tang! y = r*, ;

.* " Vqigrti^ by Çooglei

* *.**' . ■ * ’ i ' * -Ju*1

SURFACES DU SECOND DEGRtf.

st celle d’un hyperboloïde à une axes réels sont égaux à 2r et dont l’axe imaginaire est

équation qui est celle d’un hyperboloïde à une nappe, dont les

tang-f '

SECTIONS RECTILIGNES DO PARABOLOIDE HYBERBOLIQUE. ■ — ON PEUT, SOR LA £0 RP ACE DU PARABOLOIDE HYPERBOLIQUE, TRACER DEUX . DROITES PAR CHACUN DE SES POINTS; d’0U RESULTE LA GENERA- TION DU PARABOLOIDE PAR DEUX SYSTÈMES DE DROITES. DEUX

DROITES d’un MÊME SYSTÈME HE SE RENCONTRENT PAS, MAIS DEUX DROITES DE SYSTÈMES DIFFERENTS SE RENCONTRENT TOU- JOURS. — TOUTES LES DROITES D’UN MÊME SYSTEME SONT PARAL- LÈLES A UN MÊME PLAN. ■ — LE PARABOLOIDE HYPERBOLIQUE PEUT ÊTRE ENGENDRÉ PAR LE MOUVEMENT d’uNE DROITE QUI GLISSE . SUR TROIS DROITES FIXES PARALLÈLES A UN MÊME PLAN; OU BIEN PAR UNE DROITE QUI GLISSE SUR DEUX DROITES FIXES, EN RESTANT TOUJOURS PARALLÈLE A UN PLAN DONNÉ. RÉCIPROQUEMENT , TOUTE SURFACE RÉSULTANT DE l’UN DE CES DEUX MODES DE GÉNÉ- RATION EST UN PARABOLOIDE HYPERBOLIQUE.