COMPLÉMENT DE LA THÉORIE DES SURFACES DU II* DEGRÉ

x'—Qf y'=0, z'=z 0.

La surface a donc uu centre unique, qui est à l’origine; en outre, cette équation, ne contenant pas les carrés des variables, représente un hyperboloïde; et l’on sait que, s’il est à une' nappe, iT existe une génératrice parallèle à l’axe des s-,

cherchons donc si une droite, ayant pour équations

peut être située en entier sur cette surface. Si nous remplaçons a? et y par ces valeurs, l’équation de la surface devient : * . - . “ '

et, pour qu elle soit satisfaite identiquement , on doit avoir ;

a — 2p = 0, ap + i==:0;

or on déduit de ces équations : •

cequi ne se peut. La surface n’admet pas, par conséquent, de génératrice rectiligne parallèle à l’axe des z, elle est donc un hyperboloïde à deux nappes. ' • •

3° Soit l’équation V .

. •- (1) yz + xz + xy — — ft; -

en cherchant les coordonnées du centre, on trouve : x' + y' = 0, x' + z'=0, y' + à'!=ü;.

d’où l’on tire : . .

La surface a donc an centre unique, qui est à l’origine;, en outre, comme son équation ne renferme aucun carré, elle ne peut représenter qu’un hyperboloïde. Pour connaître la nature de cet hyperboloïde, posons :

x=cc, y = 6;

en substituant, il vient :

(a -f- 6)3 -}- aS = — - k ;

pour que cette équation ait lieu quel que soit z, il faut qu’on ait : . • , ' . ' .

a-|-6=0, a5= — ky d’où *\=k;

il suit de là que l’équation proposée représentera un hypers boloïde à une nappe , un. cône ou un liyperbQloïde à deux nappes suivant que & sera positif, nul on négatif.,

' Supposons k posjlif et cherchons les génératrices rectilignes de la surface. Conformément à la méthode exposée plus haut, nous poserons :

(2) , y = ax-\-b\

et, en portant cette valeur de y dans l’équation proposée, il vient :

pour que cette équation représente deux droites , il faut et il suffit que axs -f bx -\- k soit divisible par (a-f- i)x-\-b et par

suite qu’il s’annule pour x donne :

cette condition

v 6 =?:£(« + f)v/ÎL

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COMPLÉMENT DE U THÉORIE DES SURFACES DU U* DEGRE. 471 - L’équation (3) se décompose alors dans les deux facteurs

(a-j-l)i-f-axd: ^/ï=o et = 0;

si l’on prend les deux équations

y = aar±:(a + 1) \jk (o-|-l)s+ar=t \[k = 0,

on aura les équations des deux systèmes de génératrices, lesquels correspondent respectivement aux sigues -j- et — du

radical s/k; si, au contraire, on prend le système

ÿ = ax±(a-(-1) y' k , x dr

on obtient seulement les deux génératrices parallèles à l’axe des ï et qui ont respectivement pour équations

x=x± \fk, ÿ = \/k. .

i:iEB€!Cfi§.

Questions à résoudre.

I. Démontrer que si une surface du second degré représente deux plans parallèles, les termes du second degré forment, à un facteur numérique près, le carré de la somme des termes du premier degré.

IL Démontrer que, si une équation du second degré à trois variables représente un cylindre parabolique, l’ensemble des termes du second degré forme un carré.

412 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. III. Démontrer que , si l’équation

AV 4- À'ÿ* + AV 4- 2B y z + 2B ’xx 4- <2B"xy— H

représente une surface de révolution; en retranchantde son premier membre a(x,4-y*4‘2S)> on pourra, pour une valeur convenable de a , obtenir l’équation de deux plans parallèles. • •

IV. Lorsqu’on résout, par rapport à x, une équation du second degré à trois variables, et que la valeur obtenue est de la forme: , •

g==mx + ny-\-p± \/ ay* 4- bxy 4- ex* + dy 4- 4-/, le centre de la courbe , représentée par l’équation ay,-\-bxy-\^cxi-{-dy-\rex-}-f=0,

est la projection du centre de la surface. (Nous avons admis ce théorème sans démonstration n° 370.)