Lorsqu’une surface du second degré n’a pas de centre

elle peut appartenir à l’un des genres suivants : '

. Paraboloïde elliptique, ; ■ •

Paraboloïde hyperbolique,

Cylindre parabolique. , - ■ .

On pourra toujours distinguer quel est celui de ces trois genres auquel appartient la surface proposée, en cherchant la nature des courbes suivant lesquelles elle est coupée par les plans parallèles aux trois plans coordonnés.

Si , parmi ces courbes, se trouve nné ellipse, Ta surface est . ( un paraboloïde elliptique ; car le paraboloïde elliptique est la séule surface, privée de centre, qui admette une section elliptique. -

Si, parmi les trois sections, on trouve une hyperbole, la surface est un paraboloïde hyperbolique ; car, parmi les trois surfaces privées de centre, le paraboloïde hyperbolique est la seule qui admette des sections hyperboliques.

Si enfin les trois sections sont trois paraboles, la surface est un cylindre parabolique; car les paraboloïdes n’admettent pour sections paraboliques que celles dont les plans sônt parallèles à l’axe , et Içs trois plans coordonnés ne peuvent pas être parallèles à une même droite. , • . . • •

,• 1 Recherche des génératrices rectilignes.

375. Nous avons vu, dans le chapitre précédent , qu’en obtient immédiatement les génératricesd’une surface du second degré, lorsque l’équation de celle-ci peut être préparée de manière que chacun de ses membres se décompose en deux

m GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS.

facteurs linéaires. Si , par exemple , il s’agit d’UQe surface ayant pour équation ' ■

[ax + by + az -f- d) (a'x -|- b'y + c% -f- d')

==(A* + By + Cz -f D)( A'x + B'y -f Gz + D')/ . •

les équations des deux systèmes de génératrices seront

ax -f by -\- cz -j-d = X (A* -}-By +Ci +D),

et *' . . • ...

ax -f -by -f- cz -\-d ( A'a: -f- B'y G'i:

a!x-\-b'\i-^-c'i-{-d' = - (Ax -|-By -|-Cz +D);

mais il est souvent diflicile de préparer l’équation de la manière que nous venons d’indiquer; aussi convient-il de donner ici une méthode, au moyen de laquelle on puisse aisément, dans tous les cas, obtenir les génératrices rectilignes. - Désignons, pour abréger, par , •

l’équation d’une surface du second degré, admettant des génératrices rectilignes; soit

(2)' y = ax -f- 6,

l’équation de la projection sur le plan xy de Fane de ces génératrices (Gj. Le plan

Qigitfeed b^Cïtx

rf» ■* ..

COMPLÉMENT DE LA THÉORIE DES SURFACES DU II* DEGRÉ. Ml

coupera la surface suivant une ligne du second degré dont la génératrice (G) fait partie; cette ligne se composera donc de la génératrice (G) et d'une autre génératrice (G'). Ce système de génératrices (G) et (G') se projettera sur le plan xz suivant un système semblable, dont lequation sera évidemment :

(3) F(x, ax+b, z)=0.

Exprimant donc que cette équation représente deux droites , on aura une équation entre « et 6,

, (4) fa,b) = 0, . .

qui sera la condition nécessaire pour que la surface proposée admette des génératrices rectilignes.

L'équation (i) donnera en général deux valeurs pour b : b = ç(«j, b = 9, (a) ; on aura donc toutes les génératrices rectilignes au moyen des deux systèmes

y = ax -f- ç(a) , F<a:, ax + a (a), z) = 0 ;

y = ax + <fl(a), F(x, ax- f z)=0.

Il faut observer que, dans chaque système, la seconde équation est décomposable en deux facteurs linéaires; il semblerait qu’il y ait lieu de distinguer alors quatre Systèmes de génératrices , mais il résulte de ce qui a été dit précédemment, que ces quatre systèmes se réduisent à deux distincts. On trouvera, dans ce qui va suivre, une application de cette méthode générale.

Applications.

i° Soit l’équation ..

(4) ** y’ -f- z* -f- cLxy -j- *2xz — H* — Gy — - f- 8 =. 0 ;

468 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS, en cherchant les coordonnées x, y', s' du centre, on trouve :

et, si l’on transporte l’origine à çe point sans changer la direction des axes, l’équation devient :

(2) at‘-f ÿs-f aJ-f 2xy-f 2arz = 4; si on la résout par rapport à z, on trouve :

z— — x± \j <—y-—'ïxy-\-&\

la portion du plan des xy, sot laquelle la surface se projette, est donc définie par l’inégalité

les points, dont le§ coordonnées Satisfont à cette condition, sont limités par l’hyperbole

— y* — 2xy-|-4 = 0;

et, comme le centre de cette hyperbole (a: =0, y — 0) satisfait à la condition (3), la surface se projette sur la partie du plan extérieure à l’hyperbole; elle est, par conséquent, un hyperbolôïde à une nappe. . ’• ..‘i • - /.

2° Soit l’équation - / , '!— ■

xÿ XZ' — 2 yz + 1 ==0 ;

en cherchant les coordonnées du centre, on trouve :

, 'ÿ'-f-z' = 0, x’ — 2z'=0, xf — 2ÿ'=0;

d’ôù Von tire : ' •• k

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