SURFACES CYLINDRIQUES

576. ün nomme généralement Cône ou surface conique la surface engendrée par une droite qui passe constamment par nn point donné et qui s’appuie sur une ligne donnée. Le point donné est le sommet du cône, la ligne donnée est dite directrice et la droite mobile est la génératrice.

577. Proposons-nous de trouver l’équation d’un cône dont on donne le sommet et la directrice. Soient x‘, y’, z' les coordonnées du sommet, relatives à trois axes rectilignes quelconques et

(i)- fÇç, y, z) = 0, V(x, y, z) = 0,

les équations qui représentent la directrice.

Les équations de la génératrice auront la forme :

Pour que cette droite rencontre effectivement la directrice , il faut que les équations (l) et (2) aient une solution commune.

c'est-à-dire que l’équation, résultant de l'élimination de x> y, x entre (t)et (2), ait. lieu idéntiquement.

Représentons par . ' ' *

cette équation de condition. Il est évident qu’on aura l’équation du cône demandée, en éliminant a et 6 entre les équations (2) et (3). Cette équation est donc ' ,

Réciproquement l’équation (i), où t? désigne une fonction quelconque, est celle d’une surfece conique dont le sommet a pour coordonnées x , y', s’; en effet, il est évident que la droite (2) est tout entière sur la surface représentée par l’équation (i)*, pourvu que a et à satisfassent à l’équation (3) ; d’ailleurs cette droite passe constamment par le point ( x',ÿ,s ’), donc elle engendre un cône qui a ce point pour sommet.

Remarque. Si le sommet du cône est pris pour origine des coordonnées, l’équation de la surface se réduit à la forme:

C’est la forme générale des équations homogènes. Il suit de là que : Toute équation homogène entre x, y et s représente un cône ayant l'origine pour sommet ; et réciproquement.

378. Pour faire une application de ce qui précède, proposons-nous de chercher l’équation générale , en coordonnées rectangulaires, des cônes obliques à base circulaire.

La directrice est ici un cercle ; ce cercle sera déterminé si

l’on donne : 1° les coordonnées x, , y, . z, de son centre, 2” le rayon r , .T les angles a, 6, y que forme l’axe du cercle avec les axes des coordonnées. Nous prendrons pour les équations du cercle en question: 1° celle de son plan, 2° celle d'une sphère ayant même centre et même rayon que lui. Ces équations seront évidemment

m I (*— ari)cosa + (y — ».)c«s6 + (4c— *, )cosy=0,

I (x— af,)* + (y— y,)* + (* —

Les coordonnées du sommet étant x', y', s', les équations de la génératrice sont

La première! équation (1) et les équations (2) donnent ;

X — xx = x — xx —

il - ii -- - ii „

a cos a -j- 6 cos 6 -f- cos y ’ IM

a cos * -f- è cos 6 -j- cos y’

z zt = z — zx

a cos a 6 cos 6 cos y ’

en faisant, pour abréger,

II = (x1 —Xj cosa -f (y'— y,) cosê + ( z'—z ,) cosy;

portant maintenant ces valeurs de x — x„ y — y,, z — z, dans la seconde des équations (I), il vient:

rs = (x’ — x,)s + (y' — y,)1 + (z' —

an a(af~~ y.) •+(»’— *■)

a cos a -f- b cos 6 -f- cosy • ' i (a’ + fc’ + tjH»

, .. (a.coft® -f 6cos6 -f- cosy)’

On aura l’équation générale des cônes obliques à base circulaire, en remplaçant dans celle-ci a et b respectivement par

*-* ety~y

379. On nomme Cylindre ou surface cylindrique la surface engendrée par une droite, qui reste constamment parallèle à elle-même et qui s’appuie sur une ligne donnée. La ligne donnée est dite directrice, la droite mobile est la génératrice.

390. Proposons-nous de trouver l’équation d’un cylindre, connaissant la directrice et la direction de la génératrice. Soient :

les équations de la directrice} ,

x—az, y=ibz,

celles d’une droite donnée à laquelle la génératrice doit rester parallèle. Les équations de cette génératrice seront :

x=oz+p, y = bz + q;

si l’on élimine x, y,z entre les équations (1) et les équations (2) , on obtiendra la condition

qui exprime que la droite (2) rencontre effectivement la ligne (1); éliminant ensuite p et q entre les équations (2) et (3), l’équation résultante, savoir :

(4) <p (x—az, y — bs) — 0,

sera l’équation du cylindre. ; ’ «• ‘ ‘

Réciproquement, quelle que soit la fonction <?, l’équation (4) représente un cylindre, dont les arêtes sont parallèles à la droite

x = az, y=bz;

en effet la droite , représentée par les équations (2), sera évidemment tout entière sur la surface (4), pourvu quep et q satisfassent à l'équation (3).

581. Pour faire une application de ce qui précède, proposons-nous de trouver l’équation d’un cylindre oblique à base circulaire. Prenons pour origine le centre du cercle qui sert de base au cylindre, pour axe des z une parallèle aux génératrices, pour axe des x l'intersection du plan du cercle avec le plan mené par l’origine perpendiculairement à l’axe des;;; enfin pour axe des y une droite perpendiculaire aux deux autres axes. Cela posé , désignons par r le rayon du cercle et par y l’angle que fait son plan avec le plan xy. Les équations du cercle seront : ■ ;

(1) ï=ytangY, x' + y* + s*=r'; les équations de la génératrice seront :

Pour avoir l’équation du cylindre , il faudrait éliminer x , y et z entre les équations (1 ) et (2) , puis éliminer p et q entre la résultante et les mêmes équations (2) ; cela revient évidemment à éliminer la seule variable z entre les équations (4) ; il vient ainsi :

il* ’

cos* y

Lé résultat auquel, nous venons de parvenir, prouve que. si

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vp .

l'on projette un cercle de rayon r sur un plan qui fasse avec le plan du cercle un angle y , on obtient une ellipse dont les axes sont 2 r et 2r cos y ; résultat qu’il est bon de connaître.

Du Cône droit.

582. Le cône droit peut être considéré comme engendré v par une droite qui tourne autour d’une droite lixe , en passant constamment par un môme point de Celle-ci. On peut ainsi trouver très-simplement l’équation générale des cônes droits. Supposons les axes des coordonnées rectangulaires; soient (x, y', ï) le sommet; 0 l’angle du cône; *,&,y, les angles formés par l'axe avec les axes des coordonnées; a!, o , y les angles formés par une génératrice avec les mêmes axes; les équations de cette génératrice seront :

COS a' COS ê' cos y'

On a d’aillçurs :

T = — x')iJr{y — ÿ’)*+ (2-

cos 8 = cos a cos a' -f- cos 6 cos 6' -j- cos y cos y'. Éliminant a', 6', y' entre les équations précédentes , il vient :

\J[x—xi)i -f ( y— y ')* + (z— a')* cos o = (a; — x') cos a + (y — y1) cos 6-j- ( z — z ') cos y-

Telle est l’équation générale des cônes droits. Elle renferme six constantes ou paramètres indéterminés , savoir : x', y', z', 8 et deux des trois angles a, 6, y.

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Du Cylindre droit.

585. On peut aussi trouver très-simplement l’équation générale des cylindres droits. Soient :

x — az + p, y—bz + q-,

les équations de l’axe , rapporté à des axes rectangulaires , r le rayon du cylindre. Désignons par x, y, z les coordonnées d’un point quelconque du cylindre ; comme la distance de ce point à l’axe est égale à r, on aura (n° 315) :

r'ia'+b'+ï^lx-az—pY+^—bz—qY+fay-bx+bp—aq)'-,

telle est l’équation générale des cylindres droits. Elle renferme cinq constantes ou paramètres indéterminés : r, a, b, j> , q.

EXERCICES

Questions à résoudre.

1° Reconnaître si un cône, donné par son équation, est un cône droit ;

2° Trouver le lieu des sommcls des cônes droits, qui passent par une conique donnée.

FIN. jk

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Paris. — Imprimé par E. Thunot al O, rat Racine, *6.

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