Considérons un cylindre droit dont l’axe soit AA

(fig. 2-4) , et supposons-le terminé par les deux plans BC et DE perpendiculaires à l’axe. Menons par les points B et D .

extrémités d’une arête quelconque BD, les lignes BP et DQ perpendiculaires au plan formé par l’arête BD et l’axe AA' ; prenons sur ces lignes des longueurs BP et DQ égales à la circonférence de base du cylindre ; enfin joignons PQ et BQ.

Il est évident que les lignes BP et DQ sont tangentes aux circonférences BC et DE, et que le plan du rectangle BDQP n’a d’autres points communs avec la surface du cylindre que ceux de l’arête BD. Cela posé , si l’on enroule le rectangle BDQP sur le cylindre , le côté PQ viendra se placer sur BD, et la droite BQ hypoténuse du triangle rectangle BPQ formera sur le cylindre une portion de courbe BHD terminée sur l’arête BD aux points B et D. Cette courbe se nomme hélice.

Mais l’hélice n’est pas une courbe terminée brusquement ; au contraire, elle s’étend indéfiniment dans les deux sens comme le cylindre auquel elle appartient, et tous ses points peuvent s’obtenir par le même moyen que ceux de la portion limitée que nous venons de considérer. Prolongeons la portion du cylindre BCDE d’une quantité égale DEFG ; par le point F, extrémité de l’arête BD, prolongée , menons FR parallèle à BP, et par le point R où cette ligne rencontre BQ prolongée, abaissons RT perpendiculaire sur BP. A cause de " BD = DF et du parallélisme des droites DQ et FR, la ligne FR ou BT est double de DQ ou de BR ; d’où il suit que si l’on enroule le plan du rectangle BFRT sur le cylindre, la droite TR viendra s’appliquer sur BF après qu’on aura fait deux fois le tour du cylindre ; en outre, il est clair qu’après avoir achevé un tour entier, la ligne QR formera sur le cylindre une portion de courbe terminée en D et F sur l’arête DF et qui sera identique avec la portion de courbe déjà formée par BQ. Et, sans qu’il soit nécessaire de plus d’explications, on voit que si le cylindre est censé prolongé indéfiniment audessus de BC et que l’on enroule indéfiniment le plan a;BV

sur le cylindre, la droite indéfinie Bar fermera sur la surface une courbe composée d’une infinité de parties égales entre elles et toutes terminées sur l’arête VV'. Ces différentes parties de l’hélice se nomment spires , et la distance des plans perpendiculaires à l’axe menés par les extrémités d’une spire est dite le pas dé l’hélice.

Enfin, comme on peut aussi concevoir le cylindre indéfiniment prolongé au dessous du plan BC , on voit que si l’on enroule sur cette surface l’autre portion du plan des. lignes VV' et Bar, c’est-à-dire la portion YBr', la droite indéfinie Bar' formera aussi sur le cylindre une infinité de spires. . -

On peut dire , d’àprès cela, que :

Les hélices sont les courbes dans lesquelles se, transforment les lignes droites tracées sur un plan, quand on enroule ce plan sur un cylindre droit.

Il faut remarquer que la circonférence peut être considérée comme une hélice dont le pas est nul.

Une même ligne droite engendre ainsi toutes les spires d’une hélice , mais il est quelquefois plus commode de considérer l’hélice comme engendrée au moyen d’une série de droites parallèles égales et équidistantes. Effectivement, si l’on prolonge PQ jusqu’à sa rencontre en S avec FR et que l’on joigne DS, il est clair que DS sera égale et parallèle à BQ et à QR, et que quand on enroulera le plan de ces lignes sur le cylindre, les droites DS et QR formeront la même spire sur la surface; savoir,. DS après le premier tour, QR après le deuxième tour. Ce raisonnement s’applique évidemment à toutes les spires.

11 résulte de là que :

L’hélice peut être obtenue en enroulant sur un cylindre droit , un rectangle indéfini dont la largeur serait égale à la

• Digitizâd by Googl

NOTIONS SUR QUELQUES coürbes USUELLES. si

circonférence de base du cylindre et sur lequel seraient tracées une série de droites parallèles et équidistantes.

52. Considérons le point U comme l’origine de l’hélice, ou BHD comme la première spire (fig. 24), en sorte que la deuxième

suite; je dis que la distance MN d’unpoint de la première spire au plan delà bascBC est proportionnelle à l’arc de cercle BN. En effet , prenons sur BR une longueur Bn égale à l’arc BN rectifié, et élevons ntn perpendiculaire à BP ; il est clair que mn — MN , car en enroulant le plan BDm sur le cylindre, le point m reste toujours à la même distance du plan de la base BC. Cela posé , les triangles semblables Bmn et BPQ donnent

mn PQ MN PQ

Bn — BP °U arc BN ~ BP ’

ce qui démontre la propriété énoncée. Si l’on désigne par h le pas de l’hélice et par r le rayon du cylindre , l’égalité précédente devient

MN h are BN . . 2 r.r ’

d’où

MN = — — x arc BN.

2ir r

Jî INTRODUCTION A LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

Cette égalité a lieu aussi pour la deuxième, la troisième, etc., spire, pourvu qu’on ajoute une, deux, etc., circonférences à l’arc BN.

LA TANGENTS A L’ HELICE PAIT AVEC l’aRÊTE DU CYLINDRE UN ANGLE CONSTANT.

35. Soient BD le pas de l’hélice (fig. 25), BCED la portion du cylindre qui a ce pas pour hauteur, BPQ le triangle rectangle dont l’hypoténuse BQ forme sur le cylindre la spire BHD. Soit M le point ou nous voulons considérer la tangente. ' Menons par ce point et par un second point M’ de la courbe la sécante M’MR , et cherchons quelle sera la limite de cette sé-

cante lorsque le point M' se mouvant sur la courbe sera venu se confondre avec M. Menons par les points M et M1 les arêtes MN, MTS' qui rencontrent en N et N’ la circonférence BG ; joignons NN', prolongeons cette lipe jusqu’à sa rencontre en K avec MM' et menons MI parallèle à NN'. Enfin , prenons sur

BP des longueurs Bn, Bn' égales aux ares BN, BN' rectifiés; menons nm et n’m' parallèles à BD, puis mi parallèle à BP. Quand on enroulera le triangle BPQ sur le cylindre, les droites mn et mW viendront s’appliquer sur MN et M'N' ; d’où H suit que mn = MN, mW=M'N' et par suite m'» — M'I. Cela posé, ies triangles semblables. MNK et MM'I donnent

NK M1 MN M'I *

les triangles semblables Bmn et mm'i donnent aussi

Bu mi

mn m'i '

Divisant ces deux proportions terme à terme, et se rappelant que MN = mn , M'I = m'i , il vient

NK Ml

Bn mi ’

mais on a MI = corde NN' , mi = nn' = arc NN', donc on a

corde NN' arc NN'

Or, pendant que le point M' se rapproche indéfiniment du * point M, le point N' se rapproche indéfiniment de N, et quand MM' est devenue tangente à l’hélice, NN' est tangente au cercle BC en N; d’ailleurs le rapport d’un arc de cercle à sa corde a pour limite l’unité quand cet arc décroît indéfiniment; donc

.. NK hm — = t Bn

ou lim NK = Bn.

Si donc MT est la tangente à l’hélice en M (tig. 26), et que

flg. ï». . ' ‘ \

NT soit la tangente au cercle BC au point N qui est la projection de M sur le plan de ce cercle , on aura