CONSTRUCTION DES EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES

42. D’après la théorie qui vient d’être exposée, toute expression algébrique et homogène du premier degré, dans laquelle les diverses lettres représentent des longueurs, est elle-même l’expression d’une longueur. Or, je dis qu’une pareille expression peut toujours être construite géométriquement, c’est-àdire par la règle et le compas : 1° dans le cas où elle est rationnelle ; 2° dans le cas où elle ne renferme pas d’autres irrationnelles que des radicaux du second degré , ou des radicaux dont l’indice est une puissance de 2.

45. 1° Construction des formules rationnelles. La plus simple des fonctions rationnelles qu’on ait à considérer est la fonction monome. Telles sont, par exemple, les fonctions

ab abcd c ’ efg '

La première se construit immédiatement ; elle exprime, en effet , une quatrième proportionnelle aux lignes a, b, c. La deuxième et toutes les fonctions rationnelles de la même forme se construiront, en répétant plusieurs fois l’opération par la-

quelle on trouve une quatrième proportionnelle à trois lignes données. Prenons en effet la fonction

abcd

Construisons une quatrième proportionnelle aux lignes a, b, e, et désignons-la par a , on aura

ab ^ ^ abcd acd

, • e ~ ef9 {9

Construisons pareillement une quatrième proportionnelle aux lignes a, c et f, et désignons-la par G , on aura

or g icd 6rf

7 ~ ‘ Jg~l’

et 011 voit qu’il ne reste plus qu’à construire une quatrième proportionnelle aux lignes G, d et g.

Cela posé, je dis que la construction d’une fonction rationnelle quelconque peut se ramener à la construction d'une formule monome. Soit par exemple la formule

abc-{-def — ghk mn-j -pq — rs

On peut l’écrire ainsi :

/ pq rs\

\ m nx/

On peut construire, comme il a été indiqué plus haut, chacune des longueurs représentées par les monomes

def ghk pq r»

ab ’ ab ’ m ’ m’

désignons-les par a, 6, f, 8, et notre formule deviendra

ab(c-\-a — 6)

formule monome que l’on construira à son tour par le même

procédé. Cette méthode s’applique évidemment à toute fonction rationnelle.

44. Construction des formules irrationnelles. Considérons l’un des radicaux du second degré qui entrent dans une formule irrationnelle, et supposons d’abord que la quantité soumise à ce radical soit une fonction rationnelle telle que

abcd + efgh — klmn pq — rj + fu

ce radical peut être écrit de la manière suivante :

et , en suivant les règles données précédemment, on le ramènera à la forme

DES ÉQUATIONS ET DES EORlHlJ1.ES DE LA GÉOMÉTRIE. 45

ensuite on construira une ligne y égale à —j, et le radical sera

ramené à la simple forme \ay ; en sorte que, si 3 désigne la moyenne proportionnelle entre a et y, on pourra remplacer le radical donné par 3 dans la formule oii il se trouve.

On pourra, par cette méthode, faire disparaître de la formule proposée tout radical du second degré affectant une quantité rationnelle; et par cette môme opération, plusieurs fois répétée s’il est nécessaire, on ramènera la formule proposée à une formule rationnelle.

Ce qui précède s’applique évidemment aux expressions algébriques contenant des radicaux dont l’indice est une puissance de 2; car tout radical de cette espèce peut être remplacé par des radicaux du second degré superposés.

45. Il y a quelques expressions simples pour la construction desquelles il ne convient pas d’appliquer la méthode générale que nous venons de développer; tels sont, par exemple, les radicaux

y a' + 6’ , Va 1 + b'—ci + di,

que l’on peut construire aisément au moyen de la propriété du triangle rectangle.

Nous citerons encore l’expression

^ a' + b'dzab ,

qui représente le troisième côté d’un triangle dont a et b sont les deux premiers et dont l’angle opposé est de 120° , ou de 60°.