Lorsqu’on se propose de construire une formule homo

gène, il n’est pas nécessaire de connaître l’unité; il suffit d’avoir les longueurs représentées par les lettres qui entrent dans la formule. Mais, s’il s’agit d’une expression non homogène , il est indispensable d’avoir la longueur prise pour unité. Considérons une formule non homogène

et supposons connue la longueur prise pour unité; prenons une seconde unité, et soit X le rapport de la première unité à la seconde. On rendra la formule proposée homogène, en remplaçant comme il a été dit plus haut, x, a, b et r

X CL b C

par y , -, -, - ; on aura donc

ou

2 afcX -(- X’ -f- abc ab

expression que l’on construira par la méthode indiquée plus haut.

47. Si la formule à construire est entièrement numérique, il n’est pas nécessaire de rétablir l’homogénéité. Prenons pour exemple

On construira en cherchant une moyenne proportionnelle entre la ligne prise pour unité et le quintuple de cette unité ; on retranchera l’unité du résultat, et l’on prendra enfin une moyenne proportionnelle entre la ligne obtenue et l’unité.

48. Construction des racines de l'équation du second degré. Supposons que a et b représentent des longueurs données, et x une longueur inconnue déterminée par l’une des quatre équations:

(1) a:’ — ax + 6’=0 (3) x'-\-ax-\-b*= 0

(2) xt-\-ax — 6*=0 (4) x* — ax — fr’=0j

il suffit de savoir construire les racines des équations (1) et (2); puisque les racines des équations (3) et (4) sont respectivement égales et de signes contraires à celles des équations (1) et (2). 1° L’équation (1) peut s’écrire comme il suit :

On voit alors que x et o — x sont les deux côtés adjacents d’un rectangle dont l’aire est b 1 et le périmètre 2a. Les racines de l’équation seront donc représentées par ces deux

côtés. Pour les trouver, on prendra AB = a (fig. 28), et sur cette ligne comme diamètre , on décrira une demi-circonférence; on élèvera sur ag. 28. AB la perpendiculaire AC = b ,

et , par le point C on mènera une parallèle à AB. Cette parallèle coupera la circonférence en deux points I et K, si b est

moindre que ^ ; elle touchera la circonférence, si 6=-; enfin

elle ne rencontrera pas la circonférence , si b est plus grand

Soit è < 5 ; abaissons IH perpendiculaire sur AB : les deux racines de l’équation (1) seront représentées par AH

48 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS, et HB, car on a

AHx(AB — AH) = 6! ou HBx(AB — HB) = 6*.

Si b = * , les racines sont toutes deux égales à AO ou — . a

Si l’on a 6 > - , l’équation proposée a ses racines imagi-

naires. ,

2° L'équation (2) peut s’écrire ainsi

Les lignes inconnues x et a x , qui ont pour différence a, sont les deux côtés d’un rectangle dont l’aire est égale à bJ.

Décrivons un cercle dont le diamètre soit égal à a (fig. 29); menons à ce cercle une tangente AB égale à b , et construisons le diamètre CD qui passe par le point B : je dis que les racines de l’équation (2) seront représentées l’une par BC, et l’autre par — BD; car on a l’équation

BCxBD = b!

que l’on peut mettre sous l’une et l’autre des deux formes

,BCx(a+BC) = fc5 — BD X (a — BD) = 6*.