MP OB PA “OA
ou , en faisant OA — a, OB = 6 ,
y b . b , , , bx
= dou y— -[a — x =6 <
ou
Telle est l’équation de la droite AB. Mais . pour que celte
DES COORDONNÉES RECTILIGNES. bi
conclusion soit pleinement justifiée, il faut montrer que l’équation précédente est satisfaite par les coordonnées d’un point de la droite AB, dont les coordonnées nç sont pas toutes deux positives. Soit d’abord un point tel que M', dont l’abscisse est négative et dont l’ordonnée est positive , on a
' ’ • MT' b
P' A ~ a ’’ or
M'P' = ÿ, P'O — — x et PA = — x+a; donc on a, comme précédemment,
Soit enfin M" un point dont l’abscisse est positive , mais dont l’ordonnée est négative; on a
MT b P 'A ~a ’’ ,
or
donc
— - on — î— = - ;
comme dans les deux premiers cas.
Ainsi l’équation .
est satisfaite par les coordonnées de chaque point de la droite AB; c’est donc l’équation de cette ligne.
GE0.MËTR1E ANAl.YTiyt’E A DEUX DIMENSIONS.
Hemarque. Nous avons supposé que tes points A et B sont situés sur les parties Ox et Oy des axes t'x et y'y ; mais une marche , semblable à celle que nous avons suivie , peut être employée dans les différentes hypothèses que l’on peut faire sur la position de la droite donnée relativement aux axes. Nous reviendrons , au surplus , avéc détail , sur l’équation de la ligne droite.
Circonférence de cercle.
54. Prenons deux axes rectangulaires (fig. 33), passant par le centre du cercle.
. . ■ Menons l’ordonnée MP d’un point quelconque M de la circonférence , et ' tirons le rayon OMj le triangle rectangle OMP " — x donne : .
MP,+ÔP,=ÔM1 ;
or MP = -)- ÿ ou ——y , ag. 33. suivant que le point M
est sur la demi-circonférence ABA' ou sur AB' A'; pareillement OP=+x ou= — x, suivant que le pointM est sur BAB'ou sur BA'B'. Donc , en désignant par r le rayon du cercle , on a pour chacun des points de la circonférence
(=tx)* -(- { dr y )’ = rs ou x’ + yT=;r!.
Telle est l’équation de la circonférence.
DES coordonnées rectilignes.
Si
Ellipse.
55. L’ellipse (n“ 1) est une courbe plane telle que la somme des distances de chacun de ses points à deux points fixes, appelés foyers, soit constante.
Prenons deux axes rectangulaires ( fig. 34 ) , dont l’un, celui des x, passe par les foyers F et F , et l’autre par le milieu de la droite FT.
Nous désignerons par 2c la distance des foyers, et par 2 a la somme des distances de ces foyers à un même point de la courbe. Soit M un point situé sur le premier quadrant AB de l’ellipse ; ménons l’ordonnée MP et tirons les droites F'M , FM ; les triangles reotangles F'MP et FMP donnent :
FM* -MP* + FT , FMT =x MP* + FP* , ,
d’où, en retranchant,
