CHAPITRE II

DÉTERMINATION D’UN POINT SUR UN PLAN , PAR LE MOYEN DE SES COORDONNÉES RECTILIGNES.

49. Pour fixer les positions des différents points d’une même ligne droite x'x (fig. 30) , on prend un point 0 sur

cette droite, et l’on rapporte

4 x à une même unité les distan- 30 ces de ce point 0 à tous les

points que l’on veut considérer sur la droite; en outre, on affecte les nombres que l’on obtient ainsi du signe +' ou du signe — , suivant que les distances dont ils expriment la mesure sont comptées dans un sens ou dans l’autre. Les distances dont il s’agit se trouvent donc représentées, les unes par des nombres positifs , les autres par des nombres négatifs. Pour abréger le langage, on appelle les premières, longueurs positives, et les autres, longueurs négatives. Le sens dans lequel se comptent les longueurs positives est indifférent.

Il est évident que la position d’un point tel que A ou B sera complètement déterminée, lorsqu’on connaîtra le nombre positif ou négatif qui exprime, comme il vient d’être dit, la distance OA ou OB; pourvu, cependant, que l’origine 0 soit connue et que le sens des longueurs positives ait été fixé.

50. Le même principe donne le moyen de fixer d'une manière précise les positions de tous les points d’un plan.

Soient en effet x'x et y' y (fig. 31), deux droites qui se coupent en 0 sous un angle quelconque ; convenons que les longueurs portées sur x'x ou y'-y seront positives, si elles sont dirigées dans le sens de Ox ou de Oy, et négatives dans le cas contraire.

Si , par un point quelconque M du plan, on iy . mène les droites MP et

ng. 3i. MQ respectivement paral-

lèles aux lignes x’x et y'y , la position du point M sera déterminée, lorsqu’on connaîtra les nombres positifs ou négatifs qui représentent OP et OQ. En effet , chacun des points P et Q sera déterminé (n° 49) et, pour avoir le point M, il suffira d’achever le parallélogramme OPMQ. La longueur OP, prise avec le signe qui lui convient , çst dite l 'abscisse du point M ; la longueur OQ ou son égale MP, prise également avec le signe qui lui convient, est dite l’ordonnée du point M. L’abscisse et l’ordonnée sont aussi désignées par el nom commun de coordonnées. L’abscisse se représente généralement par la lettre x, et l’ordonnée par la lettre y.

Ainsi on a pour le point M

x= + OP, y = + 0Q=-}-MP;

pour le point M' •

,r = — OP’, y = -)- OQ’ s= -j- MT' ;

DES COORDONNÉE* RECTIUGNES. . M

pour le point M" . - . , .

X ——OP", y=— 0Q"=— M"P"; et, enfin, pour le point M”

x = + OP"' , y = — OQ"' = — MT.

Les droites x'x ety'y portent le nom à' axes des coordonnées ; x’x est l’axe des abscisses ou l’axe des x{ ÿy l’axe des ordonnées ou l’axe des y.

51. En général, lorsque deux quantités sont de nature à fixer la position d’un point sur un plan , on donne à ces

quantités le nom de coordonnées du point. Nous n’entrerons,

pour le moment, dans aucun détail à ce sujet, et nous nous bornerons à considérer les coordonnées définies plus haut. Ces coordonnées sont dites rectilignes. Elles sont rectangles ou rectangulaires lorsque les axes font un angle droit, obliques dans le cas contraire.

représentation des lieux géométriques par des équations.

52. Les lignes dont s’occupe la géométrie sont définies par une propriété commune à leurs différents points. Ainsi , dans la suite de cet ouvrage, une ligne sera toujours considérée comme le lieu géométrique des points qui ont une certaine propriété commune. Il existe, entre les deux coordonnées de chaque point d’une ligne, une relation ou équation qui exprime analytiquement la propriété par laquelle la ligne est définie. Cette relation est dite Y équation de la ligne.

La Géométrie analytique à deux dimensions a pour objet l’étude des propriétés des lignes planes, d’après les équations qui les représentent.

Nous allons éclaircir ce qui précède en prenant , pour exemples, les lignes les plus simples : la ligne droite , la circonférence de cercle et les trois courbes connues sous le nom de sections coniques, savoir: Vellipie, l’hyperbole et la parabole.

Ligne droite.

53. Soient x'x et y'y (fig. 32), deux axes quelconques; A et B les points où la droite considérée AB rencontre ces axes.

fig. ».

Prenons, sur cette droite, un point M dont les deux coordonnées soient positives , et menons MP parallèle à Oy ; on aura

OP = £■ et MP=y;

or, les triangles semblables MPA et BOA donnent