OF' OP
ou
MT"=axOP",
ce qui montre qu’on satisfait à l’équation proposée en faisant x = OF', y = M'P".
DES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ A DEUX VARIABLES. Tl
Ce qui précède s’applique textuellement au cas de a négatif;
la seule différence est qu’au lieu de prendre la longueur MP correspondante 1 at=l dans le sens Oy, il faut la porter dans le sens opposé. La ligne droite OM (fig. 41) sera alors le lieu représenté par l’équation proposée.
Nous pouvons doncconclure que toute équation
représente une droite qui passe par l’origine des coordonnées. ’69. Considérons enfin le cas général de l’équation
Ay-J- lte-fC = 0,
où aucun coefficient ne se réduit à zéro.
Faisons — — = a, et — — = 6, l’équation devient
y—ax-\-b.
Il est évident qu’on obtiendra le lieu qu’elle représente, en construisant l’équation
y—ax,
qui y comme nous l’avons vu , appartient à une droite passant par l’origine , et en augmentant ensuite chaque ordonnée d’une quantité égale à 6. Ce lieu sera donc une deuxième droite,
flg. 41.
du premier degré , de la forme
y=ax.
menée parallèlement à la première par le point de l’axe des y qui a b pour ordonnée. Cette ordonnée b est dite l 'ordonnée à l’origine de la droite.
On voit que l’équation du premier degré à deux variables représente, dans le cas général, une droite qui rencontre les deux axes. . ,
La figure 42 est relative au cas de a > 0, b > 0 , et au cas de a>0, b<0; la figure 43 se rapporte au cas de a<0, 6>0, et au cas de a <0, 6 <0.
70. Réciproquement, toute ligne droite est représentée par une équation du premier degré. Nous allons démontrer généralement cette proposition dont nous nous sommes déjà occupés au n° 53.
On voit d’abord que toute droite parallèle à l’axe des y est représentée par une équation de la forme
En effet, soient BC (fig. 39) la droite donnée et a l’abscisse du point où elle rencontre l’axe des x; il est évident que, pour chaque point de BC , on a
Cette équation est donc celle de la droite.
On verrait de même qu’une parallèle à l’axe des x a une équation de la forme
Considérons, en deuxième lieu, une droite telle que OM ( fig. 40 et 41 ) qui passe par l’origine des coordonnées. Prenons OP = 1 , menons PM parallèle à l’axe des y et faisons PM =a; la droite OM sera (n° 68) le lieu de l’équation
ÿ-fli-
Considérons enfin une droite telle que AB (fig. 42 et 43), qui rencontre l’axe des y en un point B dont l'ordonnée soit b. Menons , par l’origine , OM parallèle à AB et soit
y=ax,
l’équation de OM ; la droite AB (n° 69 ) sera le lieu de l’équation
y=ax + b.
71. La direction de la droite représentée par l’équation y z=iax-\- b, ne dépend que de la quantité a. Cette quantité a reçu le nom de coefficient angulaire ou d’inclinaison. L’ordonnée à l’origine b est souvent désignée par la dénomination de coefficient linéaire.
72. On peut donner, à l’équation du premier degré, deux formes qu’il importe de remarquer. Soit
Aÿ + Bx+C=0,
l’équation d’une droite rapportée à des axes quelconques. On aura l’abscisse a du point, où cette droite coupe l’axe
des x, en faisant y =0 dans son équation ; on obtient ainsi :
On aura, de môme, l’ordonnée b du point où la droite coupe l’axe des y, en faisant x = 0 dans son équation ; on obtient ainsi : 1
Remplaçant , dans l’équation proposée , A et B par les valeurs qu’on vient d’écrire et divisant ensuite par C, l'équation devient
C’est l’une des deux formes que nous avons annoncées.
En second lieu, désignons par p la distance OP de l’origine à la droite donnée AB (fig. 44); par a et 6 les angles compris entre 0 et 180° que forme la direction OP avec les directions OxetOy; les trianglesrectangles OAP et OBP donnent
p=ocosa=&cos6.
Ces équations ont lieu dans tous les cas, car a et cos a sont toujours de mômes signes, ainsi que b et cos 6. Si l’on tire les valeurs de o et b, et qu’on les porte dans l’équation (1), celle-ci devient :
. (2) jrcosa-fycos6 = p.
Si les axes sont rectangulaires, on a 6 = ±: (90° — «) et l’équation (2) devient :
> xcos«-f-ysina =p.
Cette dernière forme de l’équation de la ligne droite est très-fréquemmeut employée.
Exemples.
