CHAPITRE IV
CONSTRUCTION DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. — DIVISION EN TROIS GENRES DES COURBES Qii’ELLRS REPRESENTENT.
Av - •
„ (êjijV :
93. L’équation générale du second degré à deux variables est:
(1) Ay* + Bxy+Ca:*-l-Dy+Ex-i-F=0.
Supposons que Ane soit pas nul, et résolvons l’équation (1) par rapport à y, on aura :
(2) ÿ=— 2AE)g+D»— AAF.
Faisant pour abréger
B*— AAC = m; BD— 2AE=n ; D*— 4AF=p, • l’équation (2) devient :
(3) y = — — ± ^ \/ma*+inæ+p.
Bx — j- 1)
La partie rationnelle — — — — , commune aux deux racines, est l'ordonnée d’une ligne droite
Rr-j-D
supposons que L L (fig. 06) soit cette droite. Pour avoir les '
points du lieu de l’équation (1), qui correspondent a une abscisse OP , il suffira de mener, par le point P, une parallèle à l’axe Oy, et de porter sur cette parallèle , à partir du point N où elleflg, 56. coupe la droite L'L ,
au-dessus et au-dessous de L'L, deux longueurs NM et NM' égales à la valeur absolue que prend l’expression « *
\jmx* -f -inx -j-p ,
pour la valeur de x qui répond au point P. On aura effectivement en supposant, pour fixer les idées, que les ordonnées des points M et M1 soient positives ,
PM = PN + NM = — — -f- ~ ^mx' + înx + p,-
Bj 4- D 1 ./ :
PM' = PN — NM’ — ^ — ymx' + Znx+p.
On obtiendra tous les points do lieu de l’équation (1), en
exécutant la même construction pour chacune des valeurs de x, auxquelles correspond une valeur réelle de l’expression
^ vW + 2nx + p.
' La droite L'L, qui divise en deux parties égales toutes les cordes de la courbe menées parallèlement à l’axe des y , est dite un diamètre de la courbe. En général, on nomme diamètre d’une courbe toute droite qui divise en deux parties égales un système de cordes parallèles.
La longueur, représentée par l’expression
— ymx1 -f -2nx + p,
est dite l’ordonnée comptée à partir du diamètre ; nous la représenterons par Y , en sorte que l’on aura :
1 Bar + D^
y ==—^mx\+%nx+p et y— — — ±Y.
94. Pour que la valeur de Y ou de y soit réelle, il faut et H suffit que le trinôme mx'+ïnx+p soit positif ou nul. Or, un polynôme a le même signe que son premier terme pour toutes les valeurs positives ou négatives de la variable qui dépassent une certaine limite. 11 est donc naturel de distinguer les trois cas de m < 0 , »i = 0 , m > 0.
1° Soit m <0 ou B* — 4AC < 0. L’ordonnée Y sera imaginaire pour toutes les valeurs positives et négatives de x qui dépassent certaines limites , d’où il suit que le lieu de l’équation (1) est une courbe limitée dans le sens O* et dans le sens Ox'\ et, comme Y ne peut être infinie pour des valeurs finies de x , la courbe sera limitée aussi dans le sens Oy
102 UÉ0METR1K ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.
et dans le sens Ut/'. Cette courbe, limitée dans tous les sens, a reçu le nom d Ellipse.
2° Soit m > 0 ou B* — 4AC > 0. L’ordonnée Y sera constamment réelle pour toutes les valeurs positives et négatives de x qui dépassent certaines limites; en outre cette quantité croît indéfiniment avec x, d’où il suit que le lieu de l’équation (i) est une courbe qui s’étend à l’infini de part et d’autre de l’axe des y, au-dessus et au-dessous de l’axe des x. Cette courbe a reçu le nom A’ Hyperbole.
3” Soit m=0 ou B’ — :4AC=0. L’ordonnée Y est égale à \Jinx -f p; et, si n est positif, elle est réelle pour toutes les
valeurs de x comprises entre et -f co , mais elle est imaginaire pour toutes les valeurs de x comprises entre —
» ifi
et — qo. La courbe s’étend donc à l’infini dans le sens Ox , mais elle est limitée dans le sens Ox'. Elle serait, au contraire, illimitée dans le sens Ox' et limitée dans le sens Ox, si n était négatif. Dans les deux cas, elle s’étend à l’infini audessps et au-dessous du diamètre. Cette courbe a reçu le nom de Parabole.
En résurtié, l’équation (t) peut représenter trois genres de courbés : les Ellipses qui sont limitées de toute part et dont le cercle (n° 86) est un cas particulier; les Hyperboles qui ont quatre branches infinies , et les Paraboles qui en ont deux (’).
9i>. Ce qui précède suppose que A ne soit pas nul; nous allons montrer actuellement que , dans l’hypothèse de A =0 , le lieu représenté par l’équation proposée appartient nécessairement à l’un des trois genres dont il vient d’être question.
(*) Nous avons déjà considéré chacune de ces trois courbes , dans le ehapltre II, en les définissant par l'une de leurs propriétés géométriques.
Si A est nul et que B ne le soit pas , la quantité déterminante B! — 4AC est positive, et la courbe appartient Su genre Hyperbole', je dis que la courbe a effectivement quatre branches infinies. Cela se voit immédiatement si C n’est pas nul, car, en résolvant par rapport à x, on trouve :
•r = - V B y* + 2(BE-2CD)y + E4 -4CF.
Le coefficient de y 1 sous le radical est positif , d’où l’on peut conclure, comme plus haut, que le lieu s’étend à l’infini dans le sens Qy et dans le sens Oy', au-dessus et au-dessous de l’axe des x.
Si l’on a à la fois A =0 et C = 0, l’équation se réduit à
Bxy -fDy + Ex+F =0 ;
on en tire : •
Ex+F Bx-j- D
et
Dy±F.
. By + E’
y est réel pour toutes les valeurs positives ou négatives de x, d’où il suit que la courbe s’étend à l’infini dans le sens Ox et dans le sens Ox'; on voit de même que x est réel pour toutes les valeurs positives et négatives de y , d’où il suit que la courbe s’étend à l’infmi dans le sens Oy et dans le sens Oy'. La courbe a donc quatre branches infinies.
Si l’on a en même temps A = 0 et B = 0 , il en résulte B* — 4AC = 0, et la courbe appartient au genre Parabole. Effectivement elle n’a que deux branches infinies , si D n’est pas nul; en effet, l’équation proposée doune alors :
on voit que , pour des valeurs de x positives et négatives suffi-
samment grandes, y a le même signe que — - ; d’où il suit que
la courbe s’étend indéfiniment de chaque côté de l’axe des x;
mais elle est limitée dans le sens O y si — - est négatif, et G
dans le sens Qy' si — - est positif.
Lorsque D est nul, l’équation, ne contenant plus que la variable x, représente un système de deux droites parallèles à l’axe des y. On a effectivement :
x=^è-ivE!“4CF-
Nous allons maintenant discuter ehacufi des trois cas distincts que présente l’équation (1).
Discussion do l’Ellipse (H1 — 1AC<0).
96. Conservant les notations du, n“ 93, nous diviserons ce premier cas en trois autres, suivant que les racines du trinôme mx' -f- -|-p sont réelles et inégalés, égales ou imaginaires.
Considérons, en premier lieu, le cas oii les racines du trinôme, dont il s'agit, sont réelles et inégales; désignons ces racines par x' et x" ; supposons, en outre, pour fixer les idées, a! et x" positifs et x' <. x". Soient X'X.(fîg. 57) le diamètre qui a pour équation
lix+ L>
B et B' les points où ce diamètre coupe la courbe; si l’on
mène les ordonnées BP et B'P' , x' et x" seront les abscisses
des points P et P’, et la valeur de Y ■ sera
• âY j/m [x — x'\ ( x — x") ;
comme la quantité- m est ici négative, nous la désignerons par — et nous écrirons
Y = ^ vV — *') (*" — *)• . . •
Pour que Y soit réel , il faut que x soit compris entre x' et x" ; la courbe est donc tout entfère située entre les parallèles à l’axe des y, menées par les points B et B'. Comme l’un des facteurs x — x', x" — x croît en môme temps que l’autre décroît, on ne voit pas immédiatement de quelle manière varie leur produit lorsqu’on fait croître x de x' à x". Mais si l’on remarque que ces facteurs ont une somme constante , et que le produit de deux quantités variables , dont la somme est
constante , est d’autant plus grand que la différence de ces variables est plus petite, on reconnaîtra facilement de quelle manière varie Y. Désignons effectivement par 2; la différence des facteurs x—-x', x" — x\ la somme de ces facteurs étant x" — x', on aura :
x—x=‘ — - bî-et x — x= — x,
d’où l’on tire :
ce qui montre que s n’est autre chose qu’une abscisse, comptée à partir du point D milieu de PP. Gela posé, la valeur de Y devient :
X jr»
pour z — , on a Y at=0 ; et si l’on fait croître z de
— a zéro , ou x de x a — - — , Y croîtra de zéro
à — (*c" — a?'). Au contraire, Y décroîtra depuis cette va- 4A
leur jusqu’à zéro, si Ton continue à faire croîtrez de zéro à -j — , ou x de — - — à x”. On voit en particulier
que la valeur maximum de Y est ( x" — x' ) , et qu’elle
correspond à x = 0 , c’est-à-dire, à x = — ~ — qui est
l’abscisse du poipt D. ' ‘ .
Il résulte de là que, si l’on mène, par le point D, une parallèle à l’axe des y, que i’on prenne sur cette ligne de part et
d’autre de X'X, les distances CE, CE' égales à (x" — x' )
et, enfin, que l’on mène par les points E, E' les droites IH, FG parallèles à X'X, la courbe sera comprise entre ces deux parallèles et n’aura, avec elles-, que les seuls points communs E et E'. ~ .
En rapprochant ce résultat de celui que nous avons obtenu plus haut, on voit que la courbe, dont nous nous occupons, est renfermée tout entière dans le parallélogramme F1HG, comme l’indique la figure 57, et qu’elle rencontre les côtés de ce parallélogramme en leurs milieux.
Si l’on prend sur Ox, à partir du point D, deux distances égales DK et DL, moindres que DP, les valeurs de Y correspondantes aux abscisses OK et OL seront égales ; on a donc :
