MR = M'R = NS — N'S

d’où il suit que les triangles CRM, CN’S sont égaux; il résulte de là que GN' est lé prolongement de MC et que le point C est le milieu de MN'. Le point C, qui divise ainsi en deux parties égales toutes les cordes qui y passent, est dit un centre de l’ellipse (n° 7). Remarquons enfin que, MR et NS étant égales et parallèles , le quadrilatère MNSR est un parallélogramme. 11 s’ensuit que la cordc MN est parallèle à X'X et que cette corde est divisée en deux parties égales par la ligne EE'. La même chose a lieu pour toutes les cordes parallèles à X'X ; par conséquent EE' est un diamètre. Chacun des diamètres XX et EE' partage en deux parties égales les, cordes parallèles à l’autre. Deux diamètres, qui ont cette propriété, sont dits conjugues.

97. Si les racines du trinôme wr’ -}- 2 nx-\-p sont égales entre elles, on a, en désignant par .r' leur valeur et en faisait, comme précédemment, m = — jj.5.

d’où il suit que Y est constamment imaginaire, à moins qu’on ne fasse x = x'. L’équation proposée n’admet donc aucune autre solution réelle que celle qui est commune aux deux équations

ILr-f D 2A

et x=sx'.

En d’autres termes, le lieu de Léquation proposée se réduit à un point , dont les coordonnées sont

Bx'+D - 2A

Il est bon de remarquer que, le premier membre de l’équation proposée est la somme de deux carrés; on a, en effet ,

Bx+ D 2A

d’où l’on déduit

(2Ay + üx + D)’ + |i»(x — «')* = 0.,

équation qui n’est autre chose que la proposée sous une autre forme. ’ »

Si lés racines du trinôme mxs -(- L2nx + p sont imaginaires, comme m est négatif, le trinôme sera constamment négatif , et, par suite, Y sera constamment imaginaire. L’équation

proposée n’a donc aucune solution réelle ; on dit alors qu’elle représente une ellipse imaginaire.

Il est bon de remarquer que le premier membre de l’équatioii proposée est la somme de trois carrés ; car, en faisant comme plus haut m — — p*, le trinôme mx1 -j- %nx p est

égal à l’expression — |j.! — ps/t\ où K1 désigne une

quantité positive ; alors on a :

d’où l’on déduit :

[ZAy + Bx + D)* — —) +|i2/i'=0,

équation qui n’est autre chose que la proposée sous une autre forme.

Remarque. Pour que les racines du trinôme mx^+Vnx+p soient réelles et inégales , il faut et il suffit qu on ait .

n- — mp> 0.

Par conséquent,, pour que l’équation proposée représente effectivement une courbé, il faut et il suffit que l’on ait en

supposant, ce qui est permis, que A soit positif :

IP AC <0 et AE*-t-CDs — BDE+F(BS — 4AC)>0.

Si la deuxième condition n’est pas remplie, l’équation représente un point réel ou une ellipse imaginaire qui sont les variétés de l’ellipse.

no GÊOMÉTHIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.

Discussion de l’Hyperbole (B1 — 4AC>0).

98. Le cas de l’hyperbole, comme celui de l’ellipse, se subdivise en trois autres, suivant que les racines du trinôme m.r’-j- Hnx-\-p sont réelles et inégales, égales ou imaginaires!

Considérons, en premier lieu, le cas où les racines du trinOme , dont il s'agit , sont réelles et inégales ; désignons-les par x' et x"; supposons, en outre, pour fixer les idées x' et x" positifs et x' <x "•

Soient X’X (fig. 88) le diamètre qui a pour équation

Bar-f D

et B, B' les points où ce diamètre coupe la courbe; si l’on mène les ordonnées BP et BP', x' et x" seront les abcisses des points P et P', et la valeur de Y sera

\jm\x— x')(x — x");

comme la quantité m est positive, nous la désignerons par |a* et l’on aura :

Pour que Y soit réel, il faut que x soit compris entre — co et x', ou entre x" et -j-c»; la courbe n’a donc aucun point situé entre les deux droites BP, B’F, mënées par les points B et B' parallèlement à l’axe des y. .

Pourx=x", on a Y=0; et lorsqu’on fait croître x de x" à -|-co, Y croît de zéro à l’infini, car les deux facteurs x — ad et x — oc" croissent l’un et l’autre indéfiniment. La courbe, dont nous nous occupons, a donc une branche telle que NBT qui s’étend à l’infini du côté des abscisses positives , de part et d’autre du diamètre.

Pour x = x', on a encore Y = 0; et si l’on fait décroître x de x? à — oo, les deux facteurs x — ad, x — x" sont négatifs ; en changeant leurs signes, il vient :

on voit que x décroissant de x’ à — cr>, Y croît de zéro à co ; la courbe a donc une deuxième branche telle que UBH qui s’étend à l'infini du côté des abscisses négatives, de part et d’autre du diamètre.

L’abscisse du point D milieu de PP’ étant ——z — , posons

z sera une abscisse, comptée à partir de D, et la valeur de Y deviendra:

Cette forme de la valeur de Y permet de constater que la parallèle menée à l’axe des y, par le point D, est un diamètre de l’hyperbole, conjugué au premier diamètre X'X; et, que le point C, où se coupent ces deux diamètres, est un Centre de la courbe.