Évanouissement du rectangle. Soit

(1) Aÿ’-fltey + C&’ + Dÿ + EÆ [F^= 0,

l’équdtion d’une courbe du second degré. Si les axes ne sont pas rectangulaires, on commencera par rapporîter la courbe à deux nouveaux axes, rectangulaires quelconques; par exemple on pourra conserver l’axe des x et changer seulement l’axe des y, ou inversement. Nous admettrons que cette transformation préalable a été exécutée, et que l’équation proposée est relative à deux axes rectangulaires.

Cela posé, rapportons la courbe à de nouveaux axes rectangulaires ayant la même origine que les premiers : les formules de transformation à employer sont

ar=a;1cosa — ÿjsina, . •

. • ÿ = #,sina.-f ÿjCOSa, - ; .

et-, l’équation de la courbe devient :

' (2} ÀV1#+B'^1+C^l‘+Dÿ1+Er*1+P=>0, /V

en faisant , pour abréger,

A'=Acos’a — B sîn « cos a + C sin* a,

B' == 2( A — C) sin a cûs a Lj- B(cos’ a — sin* a) ,

G' = A sita* « -j- B sin a cos a C cos’ a ,

D' = Dçosa — Esina,

E' = Dsina4-Ecosa.

On voit, d’après cela, que l'équation (2) ne contiendra pas

le rectangle des variables, si l’on dispose de l'indéterminée « pour faire

cette équation revient à

(A — C)sin2a-1-Bcos2*=0, .

et l’on en tire :

(4) ' tan«2a==XZ^*

Désignons par 2a' l’angle compris entre 0° et 180° dont la

tangente est - — - ; les valeurs de a qui satisferont à l’équation (4) seront données par la formule ' - a=:a' + 900Xk,

où k désigne un entier. En faisant k=(), on a a— a', ce qui donne un certain système d’axes pour lesquels l’équation de la courbe est dépourvue de rectangle; or je dis que cesystème est unique. En effet, il est clair que les systèmes d’axes, qui correspondent à k = \,k=- 2# etc., ne sont autre chose que le système correspondant à k—0, et que l’on ferait tourner autour de l’origine jusqu’à cç que chacun des axes eût décrit 90°, 180°, etc. Dans ce mouvement de rotation les axes s’échangent les uns dans les autres, mais il n’y a aucun changement dans leur système.

11 résulte de là que, pour une origine donnée, il existe un système unique d’axes rectangulaires pour lesquels l’équation d’une courbe du second degré est dépourvue du rectangle des variables. Il faut remarquer toutefois que cette conclusion est en défaut dans le cas du cercle.' On a eftec-

DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ A DEUX VARIABLES. 143 tivement alors B=0 et A— G (n“ 86);. l'équation (4) devient tang 2a = g et elle est satisfaite, quel que soit o. On

sait en effet que l’équation de la circonférence , rapportée à deux axes rectangulaires quelconques, ne renferme pas le rectangle des variables. • .

De l’équation (4), on tire :

sin2a= — . cos2g— -■**■■■ . ■ — ;

vB*-f (A— G)* V'BS+{A— Ç)*

le signe, avec lequel il faut prendre le radical, étant déterminé quand on a fixé celle des valéurs de a que l’on choisit. Cela posé , en combinant la première et la troisième équation (3) . par voie d’addition et de soustraction , il vient ;

A'+G'=A--fC

A'-t- C' = (A — C) cos 2a — B sih 2a = V'(A— C)‘+B! •; ‘ -,

d’où il suit que A’ et C' sont les valeurs de l’expression

11 est utile de connaître ce résultat ; on formerait aisément les valeurs des coefficients D' et B', mais, comme les formules qui les expriment ne sont d’aucune utilité, nous n’entrerons . pas dans ce détail. '

115. Réduction de l’équation du second degré dans le cas de l’ellipse et dans celui de l’ hyperbole. La courbe étant rapportée à deux axes rectangulaires, on fera disparaître de son équation les termes du premier degré, en transportant les axes parallèlement à eux -mêmes au centre dé la courbe.

On fera disparaître ensuite le rectangle des variables en changeant la direction des axes. Il est clair que la seconde transformation ne rétablira pas de termes du premier degré , et l’équation de la courbe aura définitivement la forme :

My’ + Nx^H. , '

Les axes coordonnés sont évidemment les axes de la courbe.

114. Réduction de l’équation de la parabole. La courbe étant rapportée à deux axes rectangulaires, si l’on fait disparaître le rectangle des variables, le carré de l’une des variables disparaîtra en même temps, puisque la quantité B* — 4AC est toujours nulle. Si c’est, par exemple, le carré de x que l’on fait disparaître, l’équation prendra la forme

Ay + D'ÿ+E'*-fF=0.(

On pourra ensuite faire disparaître le terme en y et le terme indépendant , en transportant les axes parallèlement à euxmêmes en un point (x', y'), tel que l’on ait:

2Ay+D'=0,

• Ay + Dy+E'x’-j-F = 0, '

et l’équation de la courbe aura définitivement la forme:

My*-|-Px=0.

L’axe des x est évidemment l’axe de la parabole.

113. On peut comprendre, dans une même équation à trois termes, toutes les courbes du second degré. Effectivement l’équation

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des Equations du second degré a deux variables, us qui comprend l’ellipse et l’hyperbole prend la forme : My‘4-Nx*-1-Px=0,

si l’on transporte l’axe des y parallèlement à lui-même , de manière que la nouvelle origine soit à l’un des points où l'axe des x rencontre la courbe. D’ailleurs l’équation précédente donne la parabole , si l’on y fait N=0.

EXERCICES

• Questions à résoudre. "

I. La discussion de l’ellipse ou de l’hyperbole, rapportée à deux axes quelconques (n°* 96 et 98), met en évidence l’existence de deux diamètres conjugués, dont l’un est parallèle à l’axe des y. On demande de trouver l’équation de la courbe, en prenant pour axes les deux diamètres conjugués dont U s’agit*, (L’ordonnée Y étant immédiatement donnée en x, il suflira d’exprimer x en fonction de X. On peut se dispenser ainsi de recourir aux formules générales de la transformation des coordonnées.)

II. La discussion de l’hyperbole, représentée par une équation privée du terme^en y1 (n* 101 ), met en évidence l’existence de deux asymptotes. On demande de trouver l’équation de la courbe en prenant les asymptotes pour axes des coordonnées.

ni. Étant donnée une courbe du second degré, on mène, par un point P, deux sécantes qui coupent la courbe, la première aux points A et A’, la seconde aux points B et B' ; on mène également, par un autre point p, deux sécantes parallèles aux premières et qui coupent la courbe aux points a et a', b et 6' respectivement. On demande de prouver que l’on a

PAxPA' paXpa'

PB X PB’ — pbxpb' '

On s’appuiera sur ce fait que : dans l’équation d’une courbe du second degré, les tenues en y* en xy et en a:* ne changent pas, quand on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes.

IV. Étant donnés un triangle ABC et un point P, on mène, par le point P, une sécante qui coupe les côtés AC et BC aux points A' et B' respectivement; enfin, on joint AB' et BA' qui se coupent en M. Cela posé, on demande l’équation du . lieu décrit par le point M quand la sécante PA'B' prend toutes les positions possibles autour du point P. On fera voir que le lieu demandé peut être l’une quelconque des trois courbes du second degré ou de leurs variétés. On déterminera la position que doit avoir le point P, pour que le lieu demandé ' • soit une ligne droite ou une circonférence ou une parabole.

V. Trouver le lieu décrit par l’un des sommets d’un triangle donné, lorsque les deux autres sommets se meuvent respectivement sur deux droites données. Dans quel cas le lieu demandé se réduit-il à une ligne droite ?

VI. Démontrer que, si trois courbes du second degré ont une corde commune AB , et qu’elles se coupent deux à deux en deux autres points C et D, E et F, G et H, les trois cordes (3), EF et GH concourent en un même point. (On prendra la corde commune AB pour axe des x, et ou écrira les équations des trois courbes de manière que, dans chacune d’elles, le coefficient de x' soit l’unité. En combinant ces équations par voie de soustraction, on obtiendra les équations des cordes CD, EF, GH.)

DES TANGENTES ET DES ASYMPTOTES