DO SECOND DEGRÉ

Du centre. -,

105. On nomme centre d’une courbe (n01 7 et 96) un point qui divise en deux parties égales toutes les cordes qui y passent.

Théorème. Si un centre d'une courbe est pris pour origine des coordonnées rectilignes , l’équation de cette courbe ne change pas , quand on y remplace x par — x et y par — y.

Réciproquement, si l'équation d’une courbe ne change pas quand on remplace x par — x et y par — y, l’origine des coordonnées est un centre de la courbe.

1° Supposons que l’origine O (fig. 72) soit un centre d’une

courbe; joignons un point quelconque M de cette courbe au centre O, et prolongeons OM d’une quantité *OM’ = OM ; le point .M' sera aussi un point de la courbe.

De plus, si l’on mène les ordonnées MP, M'P' , il. est

r . flg- «• évident que Jes triangles MOP

et M'OP' seront égaux; d’où il suit que les coordonnées du point M' sont égales et de signes contraires à celles du point M. On voit par là que, si l’équatioû de la courbe admet . une solution telle que x = tt,y=6; elle admettra aussi la solution x— — a, y= — 6; en d’autres termes, cette équation et celle qu’on en déduit par le changement de x et y en — X et — y, admettront les mêmes solutions ; ce qui démontre la première partie du théorème énoncé.

DES EQUATIONS DU SECOND DEGRÉ A DEUX VARIABLES. tî3

2° Supposons que l’équation d’une courbe ne soit pas altérée par le changement de x en — a; et de y en — y. Si cette équation admet la solution x = a, y = G, elle admettra aussi, par hypothèse, la solution x — — a, y ==— 6. Soient M et M' (fig. 72) les deux points qui ont respectivement pour coordonnées a et 6, — a et — 6; menons MP et M'P' parallèles àOy, tirons OM et OM'; il est aisé de voir que les triangles MOP et M'OF sont égaux, d’où l’on conclut que OM=OM' et que MOM' est une ligne droite; ce qui démontre la deuxième partie du théorème énoncé.

Remarque. Si, en particulier, un centre d’une courbe algébrique est pris pour origine dés coordonnées , les degrés des termes, que renferme l’équation de cette courbe sont tous pairs ou tous impairs; et réciproquement. Ceci suppose, bien entendu, que l’équation soit préparée de manière que l’un de ses membres soit mil et que l’autre membre soit une fonction. rationnelle et entière des coordonnées.

106. D’après le théorème qu’on vient d’établir, il suffira, pour trouver le eentre ou les centres d’une courbe, de transporter les axes parallèlement à eux-mêmes , de manière que l’origine prenne une position indéterminée ; puis de disposer des coordonnées de cette origine de manière à satisfaire, s’il est possible, à la condition que nous avons reconnue être nécessaire et suffisante.

Noos nous bornerons ici à faire l’application de cette théorie aux courbes du second degré. Soit

(1) 'kyt + Bxy-\-Cx'l + By+Ex-\-F==0, ' ’

• 7* J.-.' î ’ V -y -»,♦%•*■ IJ’*’», ‘ v. T '

l’équation d’une courbe du second degré. En transportant les axes parallèlement à eux-mêmes de manière que l’origine soit en un point indéterminé (x’, ÿ), l’équation de la courbe devient : , , , -

Ay‘+fcn/+ Cr‘4- (WH" Bx'+ D)y + (Bÿ'+ *C*M- E> -f Ay^-f- Bxy + (lr-,+ Dy'+ELr' + P = 0.

Pour que la nouvelle origine soit un centre de la courbe, il faut et il suffit (n° tOo) que l’on ait :

2Aÿ-j- Bx'-f-D^O, *•.

• By'-f2Gr'-f E = 0;

les coordonnées du centre sont donc données par les équa-

• tions . ' • * . •

m *Ay+ B*-f D=0, , . ' .

w "• By-f-2Cx-fE=0.

Les premiers membres de ces équations (3) sont les dérivées du premier membre de l’équation (t) prises respectivement par rapport à y et par rapport à x. On en tire :

2AE — BD ■ 2CD — BE X~ B* — 4ÂC et y== B’— 4AC*

Dans le cas de l'ellipse et dans celui de l’hyperbole, la quantité B* — 4AC est différente de zéro; par conséquent ces courbes ont un centre unique.

Dans le cas de la parabole. B*— 4AC est nul et les équa- , tions (2) sont incompatibles ; d’oii il suit que la courbe n’a pas de centre. A la vérité les valeurs précédentes de x et

de y se présentent sous la forme -, si l’on a en outre

. 2AE — BD = 0 et 2GD — BE=0; mais alors l’équation (t) représente deux droites parallèles , et. la ligure qu’elles forment admet évidemment une infinité de centres, dont le lieu , est la ligne droite représentée par l’une on l’autre des équations (21. ; .v • ,i -

DES EQUATIONS DU SECOND DEGRÉ A DEUX VARIABLES; UK Des diamètres.

i07 . On nomme diamètre d’une courbe (n° 93) une ligne droite qui divise eh deux parties épies toutes les cordes parallèles à une môme droite.

Nous allons démontrer que, dans line courbe du second degré, il existe un diamètre pour chaque système de cordes parallèles; nous donnerons en même temps le moyen de trouver son équatioh. Soient -

Ay! + lixy + Cæ5 -f- Dy + Ex -f F = 0.

ou ; pour abréger,

l’équation d’une courbe du second degré, et

y = mx, - ' .

l'équation d’une droite , menée par l’origine , parallèlement

aux cordes que nous »• voulons considérer.

Soient NN’ ( fig. 73) l’une de ces cordes , x' et y' les coordonnéesdesop milieu M.

SI l’on Imagine que les axes soient transportés parallèlement à eux -mômes au point Mj, l’équation

ftg. rs.

de la courbe deviendra:

136 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. ' et celle de la droite NN' sera évidemment

(3) y = mx. .

Il suit de là que l’éqbation du second degré en x ,

. W f[x + x',mx + y')= 0,

qu’on obtient en éliminant y entre (2) et (3), aura pour racines leé abscisses des deux points N et N' ; mais, comme ces abscisses sont égales et de signes contraires, l’équation (4) ne doit pas renfermer la première puissance de x. Égalant donc à zéro le coefficient du terme du premier degré dans l’équation (4) , on obtiendra une équation entre x', y' et m , qui représentera le lieu des milieux des cordes parallèles à la droite y = mx\ on trouve, en faisant le calcul, que cette équation est •

(2Atn + Bjy' + (Bro + 2C)ar' + Dm + E = 0, ou, en supprimant les accents,

, (2Am -f- Bit/ -j- (Bm -f- 2C)x -j- Dm -j- E = 0 ;

cette équation est du premier degré, elle représente donc une droite , comme on l’aVait annoncé.

108. L’équation précédente peut être mise sous la forme suivante :

s (2Ay-f Bx-f D)m + By-f 2Cx-f E.=*0;

pn voit que la partie multipliée par m est la dérivée par rapport à y du premier membre dé l’équation proposée, tandis que la partie indépendante de m est la dérivée par rapport à x dé ce même premier membre. Si donc on désigne par Y la première des dérivées dont il vient d’être question, par X la seconde, l’équation du diamètre, correspondant aux cordes

•'.Digitizad by(

qui ont m pour coefficient angulaire, sera

mY+X=0. ' .

Les diamètres , qui correspondent aux cordes parallèles à l’axe des x et aux cordes parallèles à l’axe des y, s’obtiennent

en faisant m= 0 et m= co dans l’équation générale,

roY+X=0 ou Y + -X = 0.

Il vient ainsi: ' .

X=0 et Y=0.

Ces, deux dernières équations sont précisément celles qui déterminent les coordonnées du centre (nM06); lorsqu’elles sont satisfaites, l’équation, générale des diamètres est également satisfaite quel que soit m. Il s’ensuit que, dans l’ellipse et dans l’hyperbole , tous les diaiViètres passent par le centre. Réciproquement , toute droite , menée par le centre d’une ellipse ou d’une hyperbole, est un diamètre de cette courbe ; en effet une telle droite (n° -87) a une équation de la forme : ;

rnY-f X = 0,

et, par conséquent, elle n’est autre que le diamètre qui partage en deux parties égales les cordes parallèles à la droite

• . . y = mx.

Dans le cas.de la parabole, on a B*— 4AC = 0 et les deux diamètres particuliers

sont parallèles. On en déduit, aisément que, dans la parabole, tous lés diamètres sont parallèles, et que toute droite parallèle à un diamètre est elle-même un diamètre.

138 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A' DEUX DIMENSIONS- Des diamètres conjugués.

109. Deux diamètres sont dits conjugués, lorsque chacun d’eux divise en deux parties égales les cordes parallèles k l’autre.

La parabole rte peut avoir de diamètres conjugués, puisque • tous les diamètres de cette courbe sont parallèles. Au contraire , à chaque diamètre de l’ellipse ou de l’hyperbole correspond un diamètre conjugué. En effet , soient

y = tnx-]rn, y — : .

les équations de deux diamètres. La condition j pour que le second divise en parties égales les cordes parallèles au premier, est (n° 10?) • •

Bm -f-.2C

ÜA»» + B

ou %\mm' -f B(in -f— 2G =0.

Cette équation est symétrique par rapport k m et m' ; éÛe exprime donc aussi la. condition pour -que le premier diamètre divise en deux parties égales les cprdes parallèles au second. Dopé la condition ppur que les deux diamètres soient conjugués est ' •.*■•

2Amm'-^B(m-4-»»'):j-.2C = 0. ,

Des axes.

HO. On nomme ored’une courbe (n° 4-) un diamètre quiest perpendiéulaire auxcordes qu’il divise en dcjux parties égales.

Il est aisé de trouver les axes des courbes du second degré. Soit la courbe : • ' ,

rapportée à deux axes taisant entre eux l’angle ô. Désignons par m’ le coefficient d’inclinaison d’un axe, par m celui de

ses cordes; on aura: . • . .

2Amw' -f- B(m -[-*»') -+- 2C = 0 ,

• mm'-f fm-f m!) cos 0 + 1 = Q ;

on tire de ces équations les valeurs suiyantes de mm et de m-\-m' t • *

A--C , 2CcosO — B

B — 2A cos 8 ’ mm B — ÎAcosO-’

i» et m' sont donc les racines de l’équation ■’

r» g A~ G -r 1 Mcq^—B Q •

“B — 2A cos fJ~r B — 2A cos 0 ; '

Dans l’ellipse et dans l’hyperbole , chaque diamètre a son t conjugué; alors les racines de l’équation en ç sont les coefllcients de deux axes perpendiculaires entre eux ; ce sont les seuls que pessède la courbe. Si, ru contraire, l’équqtiqn proposée appartient à une parabole , l’équation en Ç a pour l’une deses racines le coefficient d’inclinaisôn de l’axe unique ;

ce coefficient a pour valeur — ^ ou — puisque tous les

diamètres sont parallèles. L’autre racine de l’équation en ï. est le coefficient d’inclinaison des cordes que l’axe divise en deux parties égales.

Remarque. L’une des racines de l’équation en Ç est infmie si l’on a B=3AcosO; dans ce cas l’un des axes de la courbe est parallèle à l’un des axes coordonnés. Mais si l’on a en mémo temps B=2AcosQ et A=C, l’équation en Ç est satisfaite identiquement, d’où il suit que tout diamètre est un axe. Cette oonclusion est conformé à ce qui a été.dit plus haut; car, dans le cas dont il s’agit, la courbe est, un cercle (n° 86).

On nomme sommets d’une courbe (n° 6), les points où cette courbe est rencontrée par ses axes.

. RÉDUCTION DE l’ÉQCATION DU SECOND DEGRÉ A LA FORME LA PLUS SIMPLE PAR LE CHANGEMENT DES COORDONNEES.

Ili. Évanouissement des termes du premier degré. Soit Ay* +.B*ÿ + Cx* + Dy'+E* + F = 0,

l'équation d’une courbe du second degré rapportée à deux axes rectilignes quelconques". Si B’ — 4AC n’est pas nul; auquël cas l’équation représente une ellipse ou une hyperbole , on peut faire disparaître de l’équation les termes du premier degré en transportant les axes parallèlement à eux-mêinés au centre de la courbe. Faisant donc cette Opération et désignant par x' et y' les coordonnées du centre, l’équation de lacourbe devient: ... . .' -

Àyf.+ Ba?y + C**+F'-0,

où l’on fait,. pour abréger; . '.

F'= Ay"1 Bxy + Cr'1 -fDy’ + Ex'-f F.

Cette valeur de F' peut être simplifiée : on a effectivement

2Aÿ-fBx'-fD=ô,

B^+2Cx'-fE=0; " .

ajoutant ces équations , après les avoir multipliées par y' et parte' respectivement, il vient: • "

2Ay‘' + 2Bxy + 2Cx'*+iy+Eàr'=0,

ce qui réduit la valeur de F à

Si l’équation proposée représente une parabole , la transformation précédente ne peut évidemment être appliquée.