L’ne courbe étant rapportée à deux axes de coordon

nées fectilignes , soient x et y les coordonnées d’un point M de cette courbe; l’ordonnée y est une fonction de l'abscisse déterminée par l’équation de la courbe. Soient x h et y-j- k les coordonnées d’un second point M’ de la courbe; le coeffi-

cient d’inclinaison de la sécante Mx\l' est - ( n° 77), par conséquent, le coefficient d’inclinaison de la tangente en M est

fi'

égal à la limite vers laquelle tend le rapport quand h tend

vers zéro; cette limite, que nous désignerons par y’, est, comme on l’a vu dans l’algèbre , la dérivée de la fonction y.

Si l’équation de la courbe est résolue par rapport à y, ou si cette résolution peut se faire , on pourra trouver la dérivée y ' par les règles qui ont été exposées dans l’algèbre, et le problème des tangentes sera résolu. Mais, si l’équation de la courbe ne peut pas être résolue par rapport à l’une des variables qu’elle renferme, lès règles qui ont été exposées ne suffisent plus pour avoir la valeur de y'. Nous allons exposer une méthode générale pour remplir cet objet.

ii8. La dérivée f(x) d’une fonction f(x) de x est, par définition, la limite vers laquelle tend le rapport

„ quand A tend vers zéro. Si donc on fait :

ou ’

f[x+h)-f(x)=hf(x) + h*,

le quantité s s’annulera en même temps que h.

Il faut remarquer que la fonction f(x) peut renfermer dans son expression des quantités variables différentes de x et en

DES TANGENTES ET DES ASYMPTOTES. >4

nombre quelconque. En considérant les quantités dont nous • parlons comme des constantes , la précédente équation continuera évidemment d’avoir lieu.

Cela posé, soit y une fonction de x, déterminée par une équation de forme quelconque ,

et proposons-nous de trouver la dérivée y' de y. Donnons à x un accroissement h et désignons par k l’accroissement correspondant de y, on aura :

(2) F (x + h, y + ft)=0; * .

en retranchant les équations (1) et (2) l’une de l’autre, il vient ;

F[x + h, y + k,)—F{x, y)=0, ou - '

Désignons par tp(x, y) la dérivée de F(x, y) considérée comme fonction de x seule, par <J/(x, y) la dérivée de F(x, y) considérée comme fonction de y seule; on aura, d’après ce qui a été rappelé au commencement de ce numéro,

F (X+h, y-H)— F[x, y-fA) = A<p(x, y-fA) + Ae,

e 6’annulant avec h. On aura aussi :

F(x, y + A)— F(x, y) = ty(x, y) + À*', t' s’annulant avec k.

D’après cela, l’équation (3) peut s'écrire :

(4) Hx, y + *)+4(x, y) + ht + k‘ = 0.

En divisant par h et posant A=XA, il vient :

?(x,'y + M) 4- H(x, y) + * + Xe'=o.

Passant à la limite, h , s et V s’annulent; X devient y' et l’on a,: - .. : ' , . .

d'où

Ainsi , la dérivée de la fonction y s’obtiendra immédiatement} quand on saura trouver les deux dérivées de F(x, y) par rapport à a; et par rapport à y.

Remarque. Notre raisonnement semble en défaut si la limite y' de X est infinie; thàis oti sauve cette difficulté en

chèrcliant la limite dé y au lieu de celle de -, . On constate k n

ainsi la généralité de l’éqifation (5).