Il résulte de ce qui précède que, si X et Y désignent
les coordonnées dè la tangénle ail poiht [x , ÿ) d’une courbé
ayant polir équation
I équation de cette tangente sera
?lx, y).
ou
<t{x, y) et <b{x, y) étant, nous le répétons, les dérivées de F(.t, y), par rapport à x et par rapport à ij respectivement.
Dans le cas des axes rectangulaires, L’équation de la normale est évidemment ,
( Y — y) ?(#. y) (X — x) ty(x, y) = 0 .
DES TANGENTES ET DES ASYMPTOTES
lit
On nomme longueurs de la tangente et de la normale les portions de la tangente el de la normale comprises entre le point de contact et l’axe des abscisses. On nomme sous-tangente et sous-normale les projections des mêmes longueurs sur l’axe des abscisses.
Des tangentes aux courbes du second degré.
1 20. Soit une courbe du second degré, ayant pour équation
Ay’ +■ bxy + Cas* + Dy + Et + P = 0 ;
on a ici :*
'M*>yj = 2Ay + Bx-(-D,
<p(T,y) = Ry + 2CT-{-E,
et la tatigertte au point [x, y) a pour équation :
(2Ay + B* + D) (Y - y) + (By + 2Cx + E) (X - x) = 0.
On peut donner à cette équation une forme plus simple; car, si l’on fait passer les termes connus dans le second membre, il vient
(2Ay+Bx+D)Y+(By+2CT+E)X=*2Ay,+2BTy+2Cx*+Dy4-Ea:; mais l’équation de la courbe, multipliée par 2 donne :
2 Ay* + 2Bxy + 2Cx* + 2Dy -f 2Rr + 2F = 0 , d’où .
2Ay’ + 2Bxy + 2Cx* + Dy + Ex — — (By + Ex + 2F) ;
l’équation de la tangente sera donc t2Aÿ + Bï + D)Y + (By + 2Ci + E)X + t>y + Et + 2F = 0.
RECHERCHE DES ASYMPTOTES DES COURBES. — APPLICATION AUX COURBES DD SECOND DEGRÉ.
Théorie générale des asymptotes.
*21. Nous avons dit (n° 404) qu’on nomme généralement asymptote d'une branche de courbe in/inie une droite, dont les points de la coiirbe s’approchent indéfiniment, à mesure qu’ils s’éloignent indéfiniment sur la branche
que l’on considère.
Nous allons établir ici une méthode générale pour trouver les asymptotès d’une courbe quelconque , dont on connaît l’équation en coordonnées rectilignes.
Toute droite CD, non parallèle à l’axe des y (fig. 75) et asymptote d’une branche de courbe AB, aura une équation de la forme
y=kx+l, . i ,
où k et l désignent des constantes finies et déterminées; pour
les points de la branche de courbe AB, on aura:
y=kx + l+V,
V étant une fonction de x, dont la valeur absolue décroît et a pour limite zéro, qnand x augmente à partir d’une certaine limite jusqu’à l’infini. De cette équation , on tire :
flg. JS.
DES TANGENTES ET DES ASYMPTOTES. t6*
*=f~4r et
passant à la limite, c’est-à-dire faisant x =±<», il vient:
A = Iim- et J=lim(y — fcc).
Ainsi, pour obtenir les asymptotes d’unecourbe, dont on a l’équation en coordonnées rectilignes , il faudra d’abord chercher, au moyen de l’équation de la courbe, la limite ou les
limites du rapport - pour x=oo ; ce qui donnera les coef-
ficients angulaires des asymptotes. On obtiendra ensuite l’ordonnée à l’origine de chaque asymptote , dont le coefficient angulaire k aura été ainsi déterminé, en cherchant la limite l de la différence y — fcc pour #=«?.
La méthode précédente donne les asymptotes parallèles à l’axe des x, asymptotes pour lesquelles on a k=0; mais elle exclut évidemment les asymptotes parallèles à l’axe des y et pour lesquelles lè coefficient angulaire est infini. Si l’on avait représenté généralement par x =ky-\-l l’équation d’une asymptote, on aurait trouvé, en raisonnant comme nous l’avons
fait , fc=lim - et f =lim(x — ky), ce qui aurait permis de
trouver les asymptotes parallèles à l’axe des y ; mais on aurait exclu les asymptotes parallèles à l’axe des x .
Au surplus on peut trouver directement et très-simplement les asymptotes parallèles à l’un des axes. Supposons , par exemple, qu’unecourbe ait une asymptote parallèle à l’axe des y et dont l’équation soit
il est clair que l'ordonnée de la branche correspondante
augmente indéfiniment quand x tend vers la limite a, et que l’on a y = pour 4?= a. On aura donc les asymptotes parallèles à l’a^e des y, en cherchant, au moyen de l'équation de là Coitt'be, les valeurs finies de ± pour lèsqdeltes y est infini. Pareillement, la recherche des asymptotes parallèles à l’axe des x se ramèrié à la détermination des valeurs finies de y pour lesquelles x est infini. . ,
!22. Nous allons appliquer la méthode générale qui vient d’être exposée au cas particulier des courbes algébriques. Nous supposerons que le second membre de l’équatidn de la courbe dont il s’agit soit nul , qt que le premier membre soit une fonction entière du degré m des coordonnées x et y. On peut grouper ensemble les termes de même degré , de telle manière que les différente groupes, dont l’équation est corfi^ posée, soient des fonctions homogènes des degrés Utj (m — l)j
(m — 2), 2, i, 0 respectivement; notre équation peut donê
s’écrire alhsi , Conformément à ce qui tt été dit aü h* 36 ,
/> A • désignant des polynômes dont le dernier est du degré zéro , c’est-à-dire, est une simple constante.
En divisant l’équation (!) par il vient:
+ zr fm
faisant x=<x>) et désignant par k, comme plus. haut, la limite de -, il Vièht: •“'* /
telle est l’équation qui fera connaître les coefficients angu-
DES TANGENTES ET DES ASYMPTOTES
laites des asymptotes non parallèles à l’axe des y. Considérons, en particulier , l’une des racines réelles k de l’é-
quation (2), et. posons y — kx — u, d’ou ^ = l’équation (i) devient: . .
développant chacun des poly nômes f[ , f, (A-j-^'|,etc,,
suivant les puissances de —, observant que f{k) est nul, et
dénotant lès dérivées par des accents , à la manière ordinaire , il vient :
(3) |+etc.— 0.
' En divisant l’équation (3) par r’’1-' , faisant ensuite x=ca, et observant qu’alors m = l , il vient :
Cette v aleur de l est infinie si /'(ft) est nul et que /, (A) ne le soit pas; dans ce cas, il n’y a point d’asymptote correspondante à la valeur de k que l’on considère. Si ft(k). est nul en même temps que f(k), la valeur de / se présente sous la
forme - , et on ne peut rien conclure de ce qui précède. Mais,
dans ce cas, le coefficient de x"~' dans l’équation (3) est identiquement nul.; si l’on divise alors l’équation par xm~*,
et qu’on fasse ensuite x — <^>, il vient :
équation du second degré, qui donnera, en général, deux valeurs pour l . Dans le cas que nous examinons, il y a deux asymptotes parallèles, correspondantes à la valeur de k que l’on considère; cette valeur est une racine double de l’équation (2), puisqu’on a f{k)= 0 et f'{k)=tO. Il faut remarquer toutefois que les deux asymptotes, dont nous parlons, cessent d’exister, si les racines de l’équation du second degré en l sont imaginaires ou infinies.
Si les trois coefficients f (*), f\ {k), f,(k) de l’équation en l sont nuis, en même temps que f [k] et f, [k), l’équation en l est identique ; alors il peut y avoir trois asymptotes parallèles, correspondantes à la valeur de k que l’on considère, et on les détermine en poursuivant la marche que nous croyons avoir suffisamment indiquée.
Remarque I. Si l’équation proposée du degré m ne renferme pas de termes du degré m — 1, le polynôme fl est identiquement nul; on a, par suite, en général , 1=0; d où il suit que les asymptotes passent par l’origine des coordonnées. Or , si la courbe que l’on considère a un centre et que l’on prenne ce centre pour origine des coordonnées , on sait que 1 équation de la courbe ne renferme aucun terme du degré m — 1 ; d’ôù l’on peut conclure que, le cas des asymptotes parallèles étant excepté,
Lortqu’une courbe algébrique a un centre, toutes les asymptotes passent par ce centre.
Remarque II. Dans le cas le plus général d’une équation du degré m, le polynôme f est Ipi -même du degré m; d’où il suit qu’une courbe algébrique du degré m ne peut avoir plus de m asymptotes. Mais il faut remarquer qu’elle peut en
DES TANGENTES ET DES ASYMPTOTES
avoir un moindre nombre ; car, pour affirmer qu’il existe une
asymptote correspondante à une branche , il ne suffit pas de
savoir que les valeurs de k et de l, trouvées par la méthode
indiquée plus haut , sont réelles et finies ; il faut en outre
, • * être assuré que la branche de courbe en question s’étend à
l’infini. Par exemple, en appliquant la méthode générale à
la courbe qui a pour équation y = x± , on
trouverait k = \, 1=0, mais il n’en faudrait pas conclure que la courbe a pour asymptote la droite y = x-, car il est aisé de voir que chacune des branches infinies de cette courbe a pour asymptote l’axe des y.
Remarque III. En appliquant la méthode générale, que nous venons d’exposer, à une équation non irréductible F(x, y)=0, dont le premier membre admet un diviseur linéaire y — ax — b, il est évident qu’on trouvera que l’une des valeurs de k est a , et que la valeur correspondante de l est b. Ceci peut constituer une méthode pour trouver les diviseurs linéaires d’un polynôme F(x, y), dans le cas où l’on sait qu’il en existe.
Des asymptotes des courbes du second degré.
123. Conformément à ce qui a été dit au n° 122, nous écrirons l’équation du second degré
Ay* + Bxy + Ga:* + D.'/ + Ea; -t- F = 0
sous la forme :
168 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS, soit . *
y=kx + l,
l’équation d’une asymptote de la courbe proposée, et conservons toutes les notations du n° 12-2. Les polynômes, que nous avons désignés alors par ({k), /',(&),/,(% ont ici, pour valeurs ,
. /W = Atf + B* + C, /,(*) = Dft+E, m=F;
et , l’on a en outre : ; .
Les coefficients angulaires k des asymptotes seront donc donnés par l’équation
•AtP+B* + C=0, ; . ..
d’où l’on tire : . •
. — Biv'B^ÏÂjG
: ; ‘=— -fe
on aura ensuite l par la formule
