CONSTRUIRE UNE ELLIPSE, CONNAISSANT DEUX DIAMÈTRES CONJUGUES

et l’angle qu’ils font entre eux.

156. Soient 2 a' et 26’ les longueurs des diamètres conjugués donnés, 8 leur angle; 2a et 26 les longueurs inconnues des axes ; on a :

, 2a6 = 2a'6' sinO.

Ajoutant ces équations et retranchant ensuite la seconde de la première , il vient :

(a -f 6)* = a* + 6’3 + 2a'6' sin 0 ,

(a — &)* = a'1 + 6” — 2a'6' sin 8 ;

d’où

a -f- 6 + b'1 + 2a'6' sin 0 ,

a — 6 =<Ja'* + 6’s — 2a'6' sin 8.

On voit que a + 6 est le troisième côté du triangle, dont les deux premiers côtés sont a' et 6' et forment un angle égal à 90“ + 0; pareillement a — 6 est le troisième côté du triangle, dont les deux premiers côtés sont a' et 6' et forment un angle égal à 90° — 8; on est ainsi conduit à la construction suivante. Traçons deux lignes A'A, BB' faisant entre elles l’angle donné 0 (fig. 94) et ug qui se coupent en O; prenons

OA— OA’— o', OB=OB'=6'; abaissons BP perpendiculaire sur AA' et prenons, sur cette ligne, BC = BD = a'; joignons OC

et <)D; enfin, du point O comme centre et d’un rayon égal à OD, décrivons une circonférence qui coupe OC aux points E et F. Je dis que CF et CE seront les axes de l’ellipse demandée , qu’on pourra, dès lors, construire par points, ainsi qu’on l’a indiqué (n“ 430, 131); en effet, les angles CBO et DUO sont évidemment 90° + 0 et 90° — 0; donc les triangles CliO et DBO donnent :

CO=\/a',+ù',+2a'6'sinO et DO=y,a'J+6's — 2a'6'sin8, ou

CO=a+ù, IK>= a — 6;

on a ensuite:

CF = CO + 1)0 = 2a et CE = CO — DO = 26.

Autre manière de présenter quelques-uns des résultats qui précèdent.

157. Soit une ellipse (fig. 95) rapportée à ses axes et y | ayant pour équation .

(1) a’y* -\-hix* = atb*.

SoientOMetOM'deux diamètres conjugués quelconques; désignons par x‘ et y’ les coordonnées de l’un des points M, où l’un des diamètres rencontre la courbe ; on peut évidemment, sans altérer la généralité , supposer que x' et y' soient positives. Cela posé, l’équation du diamètre OM sera :

DE L’ELLIPSE

l’équation du diamètre conjugué 0M' sera :

tfx'

Les points d’intersection de ce second diamètre avec la courbe

auront pour coordonnées ± et dr — ; en particulier, si M'

est celui de ces deux points dont l’ordonnée est positive, on aura, en désignant par a: et y ses coordonnées.

ay' , bx'

on déduit de là, en premier lieu,

En ajoutant , il vient :

ou , en désignant par a' et b1 les demi-longueurs OM et OM' des diamètres conjugués ,

On déduit encore des équations (2) : .

xy——x 'y',

ce qui prouve que les triangles MOP, M'OP' sont équivalents et que leur somme est égale hx'y'. Mais le triangle MOM', qui

est la huitième partie du parallélogramme construit sur les diamètres conjugués, est égal au trapèze MM' PT diminué des deux triangles MOP, M'OP' ; on aura donc , en désignant par P l’aire de ce parallélogramme ,

ÿp=^(y+y')(*'— *)— *y=|

d’où

on retrouve ainsi, de la manière la plus simple, les deux théorèmes du n° 155.

Menons par le point M (lig. 95) la tangente à l’ellipse;

soient S et T les points où cette tangente coupe les axes; les triangles MTP et M'P’O étant semblables, leurs surfaces sont entre elles comme les carrés des côtés homologues MT et M'O; on a donc :

MT* MTP MTP MT)* ~ M'P'O MPO

Mais les triangles MTP et MPO, qui ont même hauteur, sont entre eux comme leurs bases; donc :

. d’où