Les équations obtenues précédemment, savoir

tang a tang a' = — —

a*bs

o1 sin ’a -f- 6S cos aa a* sin V -f 6* cos V

peuvent s’écrire de la manière suivante : sin a sin a' cos a cos a'

sinsa ( cosV 1 sin’a' t cos V

Multiplions les équations (2) l’une par l’autre et retranchons, du second membre de l’équation résultante, le carré du premier membre de l’équation (1) ; il viendra :

1 sin ’(a' — a)

En désignant par 0 l’angle des diamètres conjugués 2a' et 26', on a :

et l’équation précédente donne :

a'6'sin0=a6 ou 4«'6' sin 0 = \ab ;

ce qui démontre que le parallélogramme, construit sur deux diamètres conjugués, est égal au rectangle des axes.

En second lieu, si l’on ajoute les équations (2) après les avoir multipliées respectivement par sin* a' et sin’ a, puis par cos2 3' et cos’a , il vient, en ayant égard à l’équation (1) ,

sin V a'*

cosV

sin *3 6'*

COS *3 sin* (a' — a)

ou

a'* sin ’a + 6'* sin V = a'* COS ’a -j- 6'* COS ’a' =

q'’6'»sini(g'— a) a’

a'1 6'* sin’ (a — a) 6*

En ajoutant ces équations , il vient :

ce qui démontre que la somme des carrés de deux diamètres conjugués est égale à la somme des carrés des axes.

DE L’ELLIPSE