Soit CMN une portion d’une courbe rapportée à deux
axes rectilignes Cto? et Oy, faisant entre eux un angle quelconque 6 (fig. 96) ; soit CM un arc de cette courbe, situé tout entier d’un même côté de l’axe des x. Nous considérerons le point C comme fixe, et le point M comme mobile sur la courbe, en sorte que l’ordonnée y de ce dernier sera une
DE L’ELLIPSE
fonction de l’abscisse x définie par l’équation même de la courbe. Cela posé, si l’on mène les ordonnées CD et MP, l’aire du trapèze curviligne CDPM sera une nouvelle fonction de l’abscisse x ; nous nous proposons de trouver la dérivée de cette aire. Supposons que le point M se déplace sur la courbe et vienne occuper la position N dont nous désignerons les coordonnées par x-\-h et y -f-fc; l’aire CDPM , que nous représenterons par m, prendra un accroissement a représenté sur la figure par MPQN, et la dérivée m' de u sera égale à la
Or on peut supposer le point N assez près de M, pour que l’ordonnée de la courbe soit constamment décroissante ou constamment croissante de x=OP à x = OQ ; alors, si l’on mène MH et NI parallèles à Ox , il est évident que l’aire a sera comprise entre les aires des parallélogrammes MPQH et IPQN, c’est-à-dire comprise entre yàsinfl et (y-\-k)h sin G.
Le rapport - sera donc compris entre
y sin 0 et y sin 0 -f- k sin O.
Or à la limite, pour h = 0, on a aussi Asin0 = O; donc u'=ysin 0;
ce qui montre que la dérivée de l’aire considérée est égale au produit de l’ordonnée mobile par le sinus de l’angle des axes.
Remarque. Dans le cas des axes rectangulaires, on a sin 0 = \ et par suite :
Détermination de l'aire d’une courbe rapportée à deux axes rectilignes.
159. Supposons maintenant qu’il s’agisse d’évaluer l’aire u (fig. 96), dont il a été question au numéro précédent. Nous avons :
«' = y sin 6 ;
y est une fonction connue de l’abscisse x ; désignons-la par f[x) et supposons qu’on sache trouver une fonction F(x) ayant pour dérivée f(x) sin 9; on aura alors u' = F'(x). Les fonctions u et F(«) , ayant leurs dérivées égales, ne peuvent différer que par une constante; donc, en désignant par G cette constante , on aura :
u = F(ar) + C.
Il s’agit maintenant de déterminer la constante : désignons par a l’abscisse du point C ; l’aire u doit être nulle pour x = a ; on a donc :
0=F(a) + C d’où C = — F(a), et par suite
Remarque. Cette méthode générale est susceptible de simplifications dans certains cas particuliers; on en verra des exemples dans les applications que nous en ferons.
Aire de l’ellipse.
160. Considérons une ellipse, dont le grand axe AA'= 2 a et le petit axe BB'=26 (fig. 97); et proposons-nous d’abord d’évaluer l’aire CDMP comprise entre l’arc CM, le grand
UK L’ELLIPSE.
axe A'A et les ordonnées CD, PM, perpendiculaires au grand
axe. Prolongeons les ordonnées CD, MP jusqu’àleur rencontre en Cj, M, avec la circonférence décrite sur A'A comme diamètre. Si l’on considère le point D comme fixe x et le point P comme variable, qu’on dénote par y et y, les ordonnées MP, M,P de l’ellipse et du cercle, par w et u, les aires CMPD, C,M,PD,
fig. 97.
on aura :
mais t/4 == -y, donc.
Les fonctions u et - u t ont même dérivée , donc elles ne peu-
vent différerque par uüe constante; mais il est évident qu’elles deviennent nnlles en même temps ; . par conséquent la constante est nullé et l’on a:
Ce qui montre que lés aires de l’ellipse et du cercle, comprises entré les mêmes ordonnées, sont entre elles- dans le rapport du petit ajte'au grand; La géométrie élémentaire enseigne à calculer u,, et l’on’ en déduit immédiatement u. , ■ \ ' ;■
Si l’on suppose que les points D et P soient confondus l’un
ÎIO GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS, avec A’, l'autre avec A, » se réduit à la demi-ellipse etu, au
demi-cercle ou 5T.a' ; on a donc, en désignant par E l’aire
totale de l’ellipse :
E = - x r.d* = T.ab , a
formule qui fait coDhattre l’aire de l’ellipse entière , en fonction des longueurs de ses axes.
161. Supposons maintenant qu’on veuille obtenir l’aire d’un segment quelconque CAC' d’une ellipse (lig. 98).
Rapportons la courbe h deux diamètres conjugués, dont l’un soit parallèle à la corde CC'. Désignons pâr 2a' et 2è' les longueurs de ces diamètres, et par 0 l’angle qu’ils font entre eux. Menons l'ordonnée MP d’un point quelconque M et cher-, chons d’abord l’aire du trapèze curviligne CDPM . Décrivons une circonférence d’un rayon a' (fig. 911); menons deux diamètres rectangulaires A’,À,, IV ,11, ; prenons 0,D, = RD, 0,P, =OP, et menons enfin les ordonnées D,C,, P,M, perpendiculaires à A', A,. Si l’on désigne par x chacune des abscisses égales OP, O, P, , par y et y , les ordonnées MP et M,P, , par u et «,
DE L’ELLIPSE
ÏM
les aires GDPM*CID1‘P1M1, enfin par m' et n\ les dérivées de ces aires, considérées comme fonctions de £•, on aura :
tt'.= y sin 9 , u', = yt;
mais on a :
>1, — Va'! — , y=^v/a'* — = j y**
donc
’ «' =?- sin & x u’, :
les fonctions u et — sin 6 x u, ont taôme dérivée; d’ailleurs
elles s’annulent en môme temps; donc elles sont égaies; ^ on a par suite : - ;
u^-staexu,;
Faire circulaire u, étant connue j on connaîtra aussi Faire d’ellipse u. Si maintenant on suppose que le point M se rapproche indéfiniment du point A, le point M, se rapprochera en même temps du point A, , et l’on aura
CDA = — sin6xC,D,A, ;
on a pareillement :
donc
. CDA — -j sin 0 X .
segraentCÀG’ =• — ginôXsegmentCjAïC,-
Lorsque le point C vient à coïncider avec A , le point G,
213 c GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. '
avec A',, le segment d'ellipse devient l'ellipse entière, le segment de cercle, le cercle entier; on a donc, en désignant par E l’aire de l’ellipse, et observant que celle du cercle est
E = -Vsin0x,reo'I=’no'6'sin0 : " ;
or, en désignant par 2a et 26 les axes de l’ellipse, on a a6 = a'6'sin8; on retrouve donc la Formule déjà obtenue s >
E = r.ab. i
EXERCICES
Questions résolues.
162. Question I. Démontrer que le produit des distances des foyers à une tangente est constant et égal au carré du demi petit axe. •„
Soient p et p' les distances des foyers F et F' de l’ellipse.
à une tangente
ôy+iv^****
y —-mx -j-, ÿ aim‘ -f 6! ;
les axes de l’ellipse étant pris pour axes de Coordonnées. Les coordonnées du foyer F sont y =£0 , x == c = yV — 6* ; celles du foyer F' sont y =0, x=— c= — ; on a donc, par les formules connues,
■ jne4- 6S •’ , — «ne + s a*m* + 6!
V ttT-f 1 d’où l’on tire:'
DE L’ELLIPSE
I. 165. Question II. Démontrer que la projection de la normale, en un point de l’ellipse, sur l’un des deux rayons vecteurs est constante.
-, Soit : , . . . . ■' , . ’ . . 1 '■
oy4-6*xs=o*6\ / •
l’équation d’une ellipse rapportée à ses axes. Soient MN = N • - , la longueur de la iformale
v ; • au point M [x, y) (figi 100)
M et MQ l’ordonnée. L’équa-
. ■ s'I tion de MN est
Cette valeur de X — x est précisément la sous-normale NQ on a d’ailleurs •• -,
Remplaçant o!i/s par' a*b* — ISx* et faisant, comme à l’ordinaire, c’ — ai — b1, il vient :
M4 ' GÉOMÉTRIE ANALYTIftüB A DEUX DIMENSIONS.
ou , en désignant par r et t les rayons vecteurs qui aboutissent aux foyers F et F', -
N i=-yrr'> • 1 ' o
expression remarquable de là longueur de la normale.
Abaissons, des foyers F et F* , FP et FF perpendiculaires sur la tangente en M : et (Résignons par y l’angle que la normale fait avec l’un ou l’autre des deux rayons vecteurs; les - triangles rectangles FMP, FMP' donnent :
FF cos y’
rW
