FT
cosy’
d’où rr' =
FPxF'P'
cos* y
Mais on g vu (n° i G?) que FP X F'P' = b* ; donc
rr'— —r et N = — - — .
cos*y • acosy%
Cette dernière équation donne : .
. • Ncosy== — ,
ce qui démontre le théorème énoncé. '. •
164. Question III. Trouver le lieu des sommets des angles droits circonscrits d une ellipse donnée.
Première solution. Rapportons l’ellipse donnée à ses axes, et soit
a y -f- Vx' a= a’F,
son équation. Nous avons vu (n* 142) que, si m est une quantité donnée , l’équation
y = mx + y/a'm' b*,
UK L’ELU FSE.
représente les deux tangentes qui ont m pour coefficient angulaire , en prenant le radical successivement avec le signe -}et avec le signe — . Mais, si x et y désignent les coordonnées « d’un point donné et’ que m soit considérée comme une indéterminée , la môme équation fera connaître les coefficients angulaires m des tangentes menées à l'ellipse par le point (x,y). En faisant disparaître le radical de l’équation (2), et ordonnant par rapport à m -, elle devient :
(a;1 — fl *)m* — 2 xyrri -{-y1 — b* =0.
Si le point (a*, y) appartient au lieu demandé, le produit des racines de l’équation précédente sera — 4 , et réciproquement. On a donc, dans cette hypothèse, * . .
x ■ — tr
ou
ys-f-xs = os-| -b1.
Le lieu demandé est donc la circonférence, circonscrite au rectangle construit sur les axes de l’ellipse. ' •
Seconde solution. Les tangentes à l’eHipse ,
o3y3 + é’aj* ==’«’é* > -, • . .
qui ont m pour coefficient angulaire, sont toutes deux représentées par l’équation : .
ou
y == mx -f- y«!m4 + b‘,
— 2awn}rf(yr; — <•*)?= 0.
Si l’on change m en — — et que l’on multiplie ensuite l’équation par m3, il vient :
(3) ( x 3 — a2) -{- 2xym -}- (y3 — 63)ma =: 0;
I, 'équation obtenue, en ajoutant les équations (2) et (3), appartiendra à un lieu qui passera par les quatre points oii les droites (2) coupent les droites (3) ; or, celte équation est
ou
fc., • » », .
xi + ni = ai + b\
Elle ne contient pas la variable ni , elle représente donc le lieu demandé.- Y -» '■& /' ' - 1
16o. Question IV. Trouver le lieu d’un point quelconque lié invariablement à une ellipse donnée, qui se meut en restant tangente à deux droites rectangulaires données.
Soient Y'Y et X'X les deux droites rectangulaires données; 2a et 26 les longueurs des axes de l’ellipse donnée; a et p les coordonnées d’un point du plan de l’ellipse, par rapport aux axes de cette courbe. Considérons l’ellipse mobile dans une quelconque de ses positions , et rapportons tout à ses axes y l’équation de la courbe sera
'a-if -\-b'xi = a,b1r, .
celles des deux droites données seront :
• rjil
Les distances du point (a, p) à ces depx droites seront :
P — ma. — y/ aîms-\-bi mp-f-a —
vYn’+ï
Pti
d’ailleurs ces distances ne sont autre chose que les coordon-
afln
* it
DE L'ELLIPSE
nées du même point, relativement aux droites données prises pour axes ; on peut donc écrire :
P — ma — \ a*raî + 6î m(3-[-a— y'as-(-mî64
En éliminant m entre ces équations , on aura une nouvelle équation qui exprimera une relation constante entre les coordonnées d’un point quelconque du lieu; cette équation sera donc celle du lieu demandé.
En particulier, si l’on veut le lieu décrit par le centre de l’ellipse mobile, il faut faire a = 0 , [3 = 0 , et il vient :
X~ Vro’-H ’
y ia' + m'b'
sfrfi -j- I
l’élimination de m se fait immédiatement, en élevant au carré les équations précédentes et ajoutant ensuite ; il Vient ainsi :
équation d’un cercle dont le rayon est y/a* + b’. Ce dernier résultat peut immédiatement se déduire de la solution de la question III.
166. Question V. Trouver le lieu des pieds des perpendiculaires, abaissées d’un point quelconque du plan d’une ellipse sur les tangentes de celte courbe.
Soient
ay + 6V=o,6!,
l’équation de l’ellipse rapportée à ses axes, et a, p les coordonnées du point donné. Les équations d’une tangente et de la perpendiculaire à cette tangente, menée par le point donné.
seront: S '
y = mx -|- -j- 6*,
Les valeurs tic x et de y, qui satisfont à ces deux équations,
sont lesvcoordonnées d’un point. du lieu demandé; on aura donc l’équation de ce lieu, si l’on élimine m entre less deux précédentes. De la première , on tire :
\x% — o*)m* — 2xy»t + ys — b* = 0,
et de la seconde :
<?Le résultat de l’élimination e$t dono :.
(x'-- a*) (x — a)1-jr2xÿ(x — x)(y — P) + (ÿ*— P)»=s 0.
Cette équation'est du quatrième degré, et l’on voit qu’elle
est satisfaite en faisant x — a, y = (ï ; d’où il suit que le 'lieu demandé passe par le point donné. Ce résultat est évident à priôri , dans le cas où le point donné est extérieur à l’ellipse. . Mais il semblerait que le contraire dût avoir lieu, quand le point donné est intérieur à l’ellipse , puisque les tangentes de cette courbe n’ont aucun point dans son intérieur. U est aisé d’expliquer cette circonstance ; effectivement, un môme lieu géométrique peut être défini par diverses propriétés conduisant toutes à la même équation; or il peut arriver que la propriété, par laquelle le lieu a été primitivement défini, soit sujette à des limitations, à des restrictions dont l’analyse ne tient aucun compte et dont, par suite, l’équation est complètement dé-
DE L’ELLIPSE. ■ n 219 '
v barrassée. En résumé, et ceci est de la plus haute importance, l’équation d’un lieu, défini par une propriété géométrique, peut comprendre mie infinité de points qui n’ont pas la propriété par laquelle le lieu a été défini.
Dans l’exemple que nous traitons et que nous avons choisi pour avoir l’oceasion de présenter les remarques qui pré- • cèdent, le lieu qu’il s’agit de trouver peut être défini par une, autre propriété géométrique. En partant du nouvel énoncé auquel cette deuxième propriété conduit, on reconnaît immédiatement que le lieu demandé doit passer par le point donné. Voici cet énoncé : On mène une tangente à une ellipse donnée et on joint les traces de cette tangente sur les axes de l’ellipse à un point donné; puis on décrit deux cercles qui aient respectivement pour diamètres ces deux droites ; cela posé, on demande de trouver le lieu décrit par les points d’ intersection des deux circonférences , quand la tangente varie.
' Si le point donné est l’un des foyers de l’ellipse, on a < a =. db c, {5 = 0. Dans ce cas, il est aisé de voir que le premier membre de l’équation du lieu est divisible par (x± c)!-f- y* ; supprimant alors ce facteur qui, égalé à zéro, ne donnerait que le foyer, l’équation se réduit au second degré. Mais, dans tout autre cas, l’équation que nous avons obtenue est irréductible. Dans le cas particulier, dont il vient d’être question, le calcul peut être dirigé de manière à ne pas introduire le facteur qu'on doit supprimer ensuite de l’équation finale; en effet, dans ce cas, les équations entre lesquelles il faut éliminer m, sont :
(my-\-x)i=aî — 6*;
en ajoutant il vient : .
2?0 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. y1 + x* — a*.
On retrouve ainsi un résultat déjà obtenu au n° 139.
167. Question VI. Trouver le triangle maximum inscrit dans une ellipse donnée. ,
Soit ABC (fig. 101) le triangle maximum inscrit dans l’ellipse dont les axes sont 2a et 26. La tangente à l’ellipse au point A
est évidemment parallèle au côté opposé BC; car, s’il en était autrement , il y aurait un point de l’ellipse plus éloigné que A de BC; par conséquent le triangle ABC ne serait pas le maximum.
Il s’ensuit que la droite qui joint le sommet A au milieu du côté opposé BC est le diamètre de l’ellipse conjugué de BC. Pour la môme raison, les lignes qui joignent les sommets B et C aux milieux des côtés AC, AB sont des diamètres. Il en résulte que le centre de gravité du triangle ABC doit être le centre même de l’ellipse. Pour construire un pareil triangle, il suffit évidemment de mener un diamètre quelconque AA’, de mener ensuite la corde BC conjuguée de ÀA’ par le milieu D du demi-diamètre OA’; enfin de joindre AB et AC. Nous allons démontrer que tous les triangles ainsi formés sont équivalents, en sorte que chacun d’eux pourra être pris pour le triangle maximum. Soit ABC l’un des triangles formés comme il vient d’être dit ; nous prendrons pour axe des x le diamètre parallèle à BC et pour axe des y le diamètre ÀA'. En désignant par 2a' et 26' les longueurs de ces diamètres conjugués, par 0 leur angle, l’équation de l’ellipse sera :
DE L’ELLIPSE. 221
celle de la corde BG sera :
par conséquent l’abscisse positive du point C, où la corde BC coupe l’ellipse, sera v' 3 et l’on aura BC == o' ^3 ; on a
’ d’ailleurs AD = - b' et surf ABC = - AD X BC X sin 6 ;
donc
ABC = 7 a1 b' sin 6 X y 1 v 4
ABC = 7 ab \?3.
- Ce qui démontre le résultat annoncé.
Questions à résoudre.
I. Trouver le lieu des projections du centre d’une ellipse sur les cordes qui sont vues du centre- sous un-angle droit."
