Toute équation à une inconnue

peut être considérée d'une infinité de manières comme résultant de l'élimination de y entre deux équations, renfermant les deux inconnues rr et |f et qui, en conséquence ^ rq)résentent deux courbes. Si l'on construit ces deux courbes, les abscisses des points d'intersection seront des racines réelles

de la proposée; mais il pourra se faire qu'on n'ait pas ainsi toutes les racines réelles. Effectivement; pour être assuré que deux courbes se coupent réellement^ il ne sufSt pas de savoir que Tabscisse de leur point commun est réelle, il faut encore que Tordonnée le soit. Nous allons appliquer les considérations qui précèdent à la construction des racines de l'équation du troisième et du quatrième degré.

844. Toute équation du troisième d^é peut être ramenée à la forme

(i) x^ + px + q^O.

1° On peut d'abord poser :

(2) y=x^ et y=—px — q;

on sera conduit alors à construire la courbe

y = x\ et la droite

y=—px'-q;

les abscisses des points de rencontre seront les racines de l'équation (1).

2° On peut aussi poser :

(3) ay=.x^ et cM?y + pa?-|-jf=0;

ces équations représentent une parabole et une hyperbole; leurs points d'intersection indiqueront les racines de l'équation (1).

y Enfin on peut substituer à l'équation (1) celle-ci :

x^ -{-px^ -^-qx^O ,

et poser

(4) ay = x' et y^+^y+lx=0;

en ajoutant; on trouve :

équatioa d'un cercle qui passe à l'origine; et on pourra substituer cette dernière équation à l'une des équations (4) ; on rejettera ensuite la solution x = 0.

245. L'équation du quatrième degré peut être ramenée à la forme

(1) a:* + P^* + 9^ + ^ = 0; pour construire ses racines on posera :

(2) ay=:x* et a^y^+pay + qx-^r^O;

les points de rencontre des paraboles représentées par ces équations, indiqueront les racines réelles de la proposée. On peut aussi résoudre la même question en déterminant, comme au n"" précédent^ les points de rencontre de Tune des paraboles (2) et du cercle :

équation qu'on peut substituer à l'une des équations (2); alors la question sera ramenée à construire une parabole et un cercle.

246. Le problème 9 qui consiste à mener une normale à une ellipse par un point extérieur, conduit à une équation du quatrième degré, dont on peut construire le^ racines par Tin-

su GÉOMâTIlIB ANALTriQUE A DEUX MMENSIONS.

tersection d'une circonféreDce et de l'ellipse donnéd. Cette méthode, connue depuis longtemps, a été reprise et développée par M. Catalan dans un arUde (*) dont nous extrayons ce qui va suivre.

Les normales abaissées sur cette courbe par un point (f^q) pris dans son plan seront déterminées par lea équations

(8) «•3LY~àV>^ + 6«jX=a0 5

lesquelles donnent par l'élimination de Y :

(3) X»-2^pX»+J%V+6V-^)X«+2^pX-^jfeft

Afin de construire les racines de cette équation^ essayons de combiner l'ellipse domée avec un oeide« L'équalkm de ce cercle «era :

et si Ton cherche les abscisses des points communs de ces deux courbes , on trouvera qu'elles sont fournies par Téquation:

(5) a:*— 4^aa?» + 2^[2(^a»+6*6«) + €«ilV

dans laquelle

Maintenant , pour ramener l'équation (3) à Téquatkm l^)f posons Xs=^mx'y Qi identifions; il viendra :

(*) Voir Im MiiTeUes AnnaleB de mafhâDatifaœ , tome YII.

Ces relations détermioent facilement a,6, R etiTi. En effet,

1 première et la troisième donnent k^= r .

'^ mr

On tire ensuite de la quatrième , 6* = , ..; . Puis , de la ^nde:

îtte formule donne pour ^n deuo? valeurs réelles 9 égales et i signes contraires : comme m est un rapport^ on peut conoir de prendre seulement la valeur positive. Alors

Le centré et le rayon de la circonférence étant connus^ si

Q construit cette circonférence , et que Ton multiplie par m

abscisses des points communs aux deux courbes^ on

in^tra les abscisses des pieds des diflFérentes normales

jnées à Tellipse par le point donné.

^ ^ ùp bà , •

Si Ton pose f= -^, j = -l , on obtient ;

et ces dernières valeurs seconstrùiscnt assez simplement.

247. La construction graphique des racines des équations algébriques ou transcendantes est souvent utile pour effectuer ultérieurement la résolution numérique; nous n^ajouterons rien à ce que nous avons dit précédenmient au SHJ^ des équations algébriques, et nous nous bornerons .à examûoierle cas d'une équation trapscendante. Considérons l'équation:

2x — 4sinx — 1=0;

les racines de cette équation seront les abscisses des points communs à la courbe

(2) y=sina?, et à la droite

(3) to— 4y— 1=0.

La courbe (3) (fig. 136) est formée d'une infinité de parties

flg. 1S6.

telles que OAG et OCL (n« 237). Il est évident que la droite (3) rencontrera en un {>oint A la première des parties de la courbe ^ située du côté des abscisses positives et qu'elle ne rencontrera point les autres parties. L'équation proposée n'a donc qu'une seule racine pojsitive et cette racine Oa est comprise

entre - et it ; effectivement ces deux nombres substitués à x

dans le premier membre de l'équation (1) donnent des résultats de signes contraires.

La droite (3) ne peut évidemment rencontrer que la première des parties de la courbe situées du côté des abscisses négatives. Pour savoir s'il y a effectivement rencontre, nous allons chercher si la tangente parallèle à la droite (3) rencontre

l'axe des y au-dessus ou au-dessous de cette droite; le coeili-

cient angulaire de cette tangente étant ^^ on doit avoir,

pour le point de contact M^

cosar=-, d'où ^=—3 et y=sm-=— ^; l'équation de cette tangente sera alors

La valeur absolue de l'ordonnée du points où cette droite coupe l'axe des y, est - v^ — ^, quantité plus grande que la

valeur absolue, 0H= -r, de l'ordonnée du point où la droite

(3) coupe Taxe des y. Il s'ensuit que la droite (3) coupe la

courbe en deux points B et G dont les abscisses sont l'une

plas grande^ l'autre moindre que — -, Sachant que l'équa-

tion a trois racines réelles, on pourra les calculer par les méthodes exposées en algèbre.

Éiude de quelquei ecurb$$.

I. CisfloïDB DB Diociis. Par l'extrémité B du diamètre AB d'un cercle^ on mène la tangente BG; par l'autre extrénûké, on mène une sécante quelconque qui rencontre le cercle en h, et la tangente BC en G; ensuite on prend sur AG^ à partir do point A f AM = GD. Le lieu géométrique du point M est une courbe du troisième degré^ qu'on nomme cissoïde de Dioclès.

IL GoNGHoïDE. Ëtant donnée une droite BG et un point A situé à une distance a de BG , on mène par le point A une sécante^ et on prend sur cette sécante^ à partir du point P, où elle rencontre BG^ des longueurs PM , PM' égales à une longueur donnée 6. Le lieu des points M et M' est une courbe du quatrième degré connue sous le nom de conchoïde. La courbe affecte trois formes diflférentes suivant que Ton a 6>fl, 6=: a ou 6<o.

m. Ellipse de Cassini. Gette courbe est le lieu géométrique des points dont le produit des distances à deux points donnés est constant. En désignant par ^ la distance des deux points donnés et par 6* le produit donné, la courbe présente trois formes très-différentes suivant que Ton a 6>a, 6=aou b <a.

IV. Lemniscate de Bernoulli. Gette courbe est un cas particulier de la précédente, c'est le lieu géométrique àe$ points dont le produit des distances h deux points fixes est égal su carré de la demi-distance de ces points tixes. La lemniscate de Bernoulli est aussi le lieu des pieds dés perpendiculaires abaissées du centre d'une hyperbole équilatèr^ sur ses ifP' gentes. L'équation de cette courbe en coordonnées polairas est p^ = 2o*cos2a).

DES LIGNES COURBES EN GÉNÉRAL. tU

V. Cygloïde. La cycloïde est la courbe engendrée par un point d'une circonférence qui roule sans glisser sur une droite fixe, Si l'on désigiio par a le rayon du carcle mobile^ que Ton prenne pour axe des x la droite fixe, et pour origine le point décrivant lorsqu'il est situé sur la droite tixe; que Ton désigne enfin par co la quantité angulaire^ dont le cercle a tourné lorsque le point décrivant a pour coordonnées a: et y ^ on aura:

X = a(co — sincù) , y =a(l — cost»).

VI. Epictcloïde. Cette courbe est le lieu engendré par un point d'une circonférence mobile , qui roule sans glisser sur une autre circonférence fixe. L'épicycioïde est dite intérieure ou extérieure^ suivant qu'elle est située à l'intérieur ou à l'extérieur du cercle fixe.

Toute épicycloide intérieure peut être engendrée de deux manières ; savoir : par le moyen de deux cercles roulant intérieurement dans le cercle fixe et dont les rayons sont l'un plus grand et l'autre plus petit que la moitié du rayon du cercle fixe. Toutefois, si le rayon de l'un des cercles mobiles est égal à la moitié du rayon du cercle fixe , les deux cercles mobiles deviennent égaux et Tépicycloïde est une ligne droite.

Toute épicycloïde extérieure peut être engendrée de deux manières, savoir: par le mouvement de deux cercles, dont l'un enveloppe le cercle fixe , dont l'autre est extérieur au

«firde fixe.

Les coordonnées rectangulaires d'une épicycloïde quelconque s'expriment très-aisément en fonction de l'angle, que forme avec une droite fixe la droite qui joint les centres du oerde mobile et du cercle fixe. L'épicycioïde est une courbe algébrique, toutes les fois que le rayon du cercle mobile et le rayon du cercle fixe sont conmiensurables entre eux.

U4 GSOHËTRIE AMiLYTlQUE A DEUX

Courbet d eontiruire,

I. Construire les courbes algétviques r^résentinpKl équations :

(3x—ia)y*—'îb(x—a)y—x(x — a)*=0.

S— i + c(ir— a}"=

y*+x*— îajf'— 2fc«'î/=0.

xy'+yj'— 1=0.

y* — T* — a^. (Démontrer que l'aire de cette «nulwN moitié de celle do cercle y*+s»->=

U. Construire les courbes transcendantes :

III. Construire les courbes algébriques représentées par équations :

p*' = 2a*'cosm(».(m qaeleoDqne.] P=(i(14-tang2i»).

'^ 1— tangu)'

IV. Construire les courbes transcendantes représentées | les équations :

"^"sinu'

p=oe"'".

INTERSECTION DE DEUX COURBES DU SECOND DEGRÉ. 325