Soient

(M=Aï'

^ UM'=Ay

les équations de deux courbes du second degré. L'équation (2), M + XM'=0,

où X est une indéterminée, sera Téquation générale des courbes du second degré qui passent par les quatre points d'intersection des courbes (1). En effet, il est d'abord évident que la courbe représentée par Téquation (2) passe par les points communs aux courbes (1); en second lieu, elle peut représenter toute courbe du second degré qui passerait

par ces quatre points et par un cinquième [afy \())(^^ï cause de l'indéterraination de X^ on peut faire en sorte que l'équation (2) soit satisfaite pour x^=^x',y=^%f. La condition pour que l'équation (â) représente deux droites est (no 99) :

(A+XA')(E+XE')>— (B+XB')(D+XD'){E+XE')+(C+XC')(D+My)» + (F + XF') [(B + XEO» — 4(A + XA') (C + XC)] =0.

Cette équation est du troisième degrés elle a donc toujours une racine réelle. Cette racine étant connue , on aura aisément les équations de deux droites passant par les points communs aux deux courbes (1). La recherche de ces points communs est donc ramenée à trouver Fintersection de Tune de ces courbes avec chacune des deux droites.

Remarque. Si les deux courbes se coupent en quatre points réels, les trois racines de Téquation en X seront réelles. On peut effectivement faire passer^ par quatre points donnés, trois systèmes de deux droites.