OBLIQUE A BASE CIRCULAIRE

Des sections planes du cône droit.

250. On nomme cône droit la surface engendrée par une droite qui tourne autour d'une droite fixe en passant constamment par un même point de celle-ci^ et faisant avec elle un angle constant. La droite fixe est dite Vaxe du cône ; la droite mobile, considérée dans une quelconque de ses positions, en est une génératrice; le point de rencontre de la génératrice et de l'axe est le sommet du cône. On voit que le cône droit est une surface illimitée; le sommet partage la génératrice en deux parties indéfinies qui engendrent chacune une nappe de la surface.

Tout plan, perpendiculaire à l'axe, coupe le cône suivant un cercle; tout plan, mené par le sommet et par deux points de la surface du cône coupe cette surface suivant un système de deux droites, qui peut être considéré comme constituant une ligne du second ordre.

Nous allons démontrer généralement que toute section

faite dans un cône droit par un plan est une courbe du second degré. Soient S (fig. 137) le sommet d'im cône droit donné, HAH' Tintersection de ce cône par un plan P; menons, par Taxe ZZ', un plan perpendiculaire à celui de la section; ce plan coupera le plan P suivant la droite A^ et le cône suivant les génératrices BB' et ce. Nous poserons SA=dy SAx=ti, B8Z=6; l'angle € est compris entre zéro et 90°; Tangle a est comflg. 187. pris entre zéro et 180°.

Prenons pour axe des x la droite Aj; et pour axe des y la droite Ay , menée perpendiculairement à celle-ci dans le plan de la section. Boit MP l'ordonnée d'un point M de la courbe; par le point M , menons un plan perpendictdaire à Taxe du cône; ce plan coupera le cône suivant un cercle ayant pour diamètre EF ; en «orte qu'on aura :

MP =iEPxPF.

Le triangle AËP donne :

EP

sma

cos6'

en second lieu , si Ton tire les droites Al et PK , respectitenlent parallèles à EF et BB', il vient :

PF = KI=Msin6— AK;

maift le triangle PAR donne :

AK __ sin (g + 36)

D'après cela réquation (1) peut s'écrire ; ii%\ « ârfsinasinê sin a sin (a + 26) ,

(a) 11' £=: ■' " ■ ■'■■ X — ■ ■■ \'^ "'■■■■fl?* ;

^ ' COSb COS'o

oe qui montre que les sections planes d'un cône droit sont des courbes du second degré.

L'équation (2) représente une ellipse^ une hyperbole ou une parabole 9 suivant que oe + Sê est inférieur , égal ou su* p^eur à idO"". Dans tous les cas la droite kx est Taxe focal de la courbe.

981. Examinons maintenant si une courbe du second de* gré donnée peut être placée sur un cône droit donné. On a vu que toutes les courbes du second degré peuvent être représentées par ^équation

(3) ^y^ = ipx + qx^ \

xeiy désignant des coordonnées rectangulaires et Tabscisse X étant comptée sur Taxe focal. Cette équation a la même forme que Téquation (2) et, pour qu'elle représente la même courbe que celle-ci, il faut et il suffit que Ton ait:

d sin g sin 6 sinasin(a + il6)

^ ' COSb '^^ ^ ' cos*6 ^

n s'agit de savoir si Ton peut tirer pour d et a des valeurs réelles en supposant que p, g et 6 soient des quantités données. L'équation (5) détermine a; et si on en tire une valeur réelle, on aura aussi une valeur réelle de d par le

3d2 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.

moyen de l'équation (4). Il suffit donc que l'équation (5) donne

pour a une valeur réelle. En remplaçant sin a sin (a -f 26)

COS26— cos(2a + 26) ^ . ^. , . ^ par ^ — ' — ' y cette équation devient :

(6) cos(2a + 26)=2(g + l)cos«6— i.

Si la courbe donnée est une parabole ou une ellipse^ q est nul ou négatif, et, dans ce dernier cas, sa valeur absolue est inférieure à 1 ; donc cos (2a -f 2ê) est compris entre — 1 et 4"^ ^t? par suite, a est réel.

Donc on peut toujours couper un cône droit donné suivant une parabole ou une ellipse donnée.

Quand la courbe donnée est une hyperbole^ q est positif. Si, alors, 2(5f+i)cos'6 — 1 est négatif, cos(2a + 26) est compris entre 0 et — 1, et, par suite ^ a est réel. Mais si 2(g4"*)cos'6 — i est positif, il faut cpie Ton ait:

2(g4-i)cos«6 — i <i, ou 2(î + l)cos«6— 1=1,

pour qu'on puisse avoir une valeur réelle de a; on déduit

de là:

cos*6< ou = — :— -.

Si Ton désigne par 2a et 26 les axes de Thyperbole donoée

et que Ton fasse, à l'ordinaire, c*=a*+ 6' ; on a g = — , et ,j

la condition précédente devient :

d'où Ton tire :

cos*b< ou =-5,

cos 6 < ou = -.

On GODdut de là ce théorème : pour fti'on puisie couper un c&ne droit dotmé tuivtmt une hyperbole dotmée , il faut et it tuffit que l'angle du cône mit tupérieur ou au moins égal à l'angle de» aiymptotes de l'hyperbole.

Les courbes du second degré pouvant toujours être placées sur la surface d'un cAae droit, on a donué à ces courbes le nom de sectùmg eoniquet, et on les désigne aussi par la simple dénomination de conique».

Étude géométrique de» gections plane» du «Ine droit.

fl5il. Ou peut, par de simples considérations géométriques, établir une propriété générale commune aux sections coniques et qui suffit pour établir leur identité avec les courbes du second degré.

Menons par l'axe SZ du cdne (%. 438) un plan perpendiculaire au plan de la section considérée. Ce plan coupera le cdne suivant deux génératnces SV et 8V. Quant au plan de la section , il coupera le plan VSV suivant une droite A^ et le cône suivant une courbe telle que AM.

Cela posé, construisons un cercle tangent en B. G et F aux génératiices SV, SV et à la droite Ax; si fin conçoit que la génératrice SV tourne autour de l'axe pour engendrer le cône, le cercle CBF engendrera one ^lère insmte dans le cône et tangente au plan MAa;; en

effet, le rayon OF, étant situé dans le plan VSV et étant , perpendiculaire à A(r^ est par suite perpendiculaire au plan KAx'y il suit de là que toute droite me^éei par le point F, dans le plan MAx, est tangente à la sphère. Dans le mouye* ment de la génératrice SV autour de Taxe, le poiQt B décrit un cercle dont le plan BNC est perpendiculaire à VST; par conséquent le plan VSV est perpendiculaire à Vintersection des plans BNC et MAx, On aura évidemment cette interseolion 9 en prolongeant Ax jusqu'à sa rencontre en H avecBG et menant, par le point H ^ By perpendiculaire au plan YSV. Soit maintenant M un point quelconque de la section conique AM; menons, par ce points un plan perpendiculaire à Taxe : ce plan coupera le cône suivant le cercle DMË , le plan VSV suivant DE et le plan de la courbe suivant MP. Cette droite MP^ intersection de deux plans perpendiculaires à VSV, sera elle-même perpendiculaire à VSV ; par suite, elle sera parallèle à Hy. Donc 5 si par le point M on mène MK parallèle à PH , cette droite rencontrera Hy en un point K et, dans le parallélogramme MPHK , on aura :

(1) MK = PH.

Si Ton joint MS, cette droite sera tangente à la sphère en un point N; or la droite MF Test aussi; donc MF et MN sont égales^ comme tangentes à une sphère^ issues d'un même point ; d'ailleurs il est évident que MN est égale à BD , on a donc: