THÉORIE DES PROJECTIONS
LA SOHHB DBS PROJBCTIOHS DB FLDSIEDR8 DROITES CONSBCDTIVES SUR UN AXE EST ÉGiOE A LA PROJECTION DE LA LIGNE RÉSULTANTE.
278. On nomme projection d'un point A^ sur une droite jfx, le pied a , de la perpendiculaire abaissée de A sur (gfx. Cette projection a est aussi le point de rencontre de afx avec le plan mené^ perpendiculairement à cette droite^ par le point A.
La projection d'une droite finie AB sur une droite x'x est la partie ab de x'x y terminée par les projections a et 6 des extrémités de AB.
Théorème. La projection d'une droite finie AB (fig. 144) sur une droite x'x est égale au produit de AB par le cosinus de Vangle que forment les droites AB et xx'.
Ui GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS.
Soient M ^ipl N les plans perpendiculaires à afx menés pu les potaM ▲ et 6; a et 6 les points où ces plans conpëAt ^x] ab sera là projection de AB. Abaissons du point A la droite
AG p^endicalaire sur ""^ -^^ le plan M et joignons
BC ; les droites AC et ab seront égales, comme paraBèles comprises entre plans parallèles. On aura donc y par le triangle ABC,
flg. 144.
a6=:ABcosBAC,
ce q(A démontre le théorème énoncé.
279. Dans les applications de la théorie des projections ^ il y a lieu de distinguer deux directions différentes, nonseulement sur la ligne projetante^ mais encore sur la ligne que l'on projette. Les projections que nous aurons à considérer pourront ainfi être posiUyfè ou négatives^ et pour que leurs signes soient déterminés sans aucune ambiguïté^ nous adopterons la définition suivante :
La projection, sur une droite de direction x'Xy <jtune droik finie Afi dont la direction est celle d^un mobile qui se mouvrait de À vers B, est égale au produit de la distance AB par le cosinus de Vangle aigu^ droit ou obtuSj que fornmd h$ directions AB et x'x*
n résulte de cette définition que les projections de AB et de BA sur x'x sont égales et de signes contraires : pareillement, les projections de AB ou sur x'x et sur xx' scwit égales et de signes contraires.
Si l'angle des directions AB et x^x est aigu, il est évidâOt
THÉORIB DES PROJECTIONS.
qui la projection ab de AB a la même dirartioii-fue alm^ ei^ d'après Doire définition^ elle est positive; au contraire ^ si l'angle des dii^ctions AB et (dx est obtus^ la projection de AB, qui est négative, a la direction de X3[!.
Remarquons enfla que les projections d'une même droite sur des directions parallèles sont égales entre elles.
SBtf. ^ihuEoaÈME PoiKBAMENTAL. La sommc des projections èeê côtés a un polygone fermé sur une direction quelconque est nulle; la directioti de chaque côté étant celle que suit un mobile qui parcourt le polygone en marchant toujours dans le même $énê.
Soit ABGDEF (fig. itë) un polygone fermé, plan ou gauche ;
tf , by e, df é, f, les pnh jeeAiens de ses sommets sur la droite donnée, de direction di^'a?. Imaginons un mobile parcour&t le polygone dans le sens ABCDEF^ puis un second mobile consjkamment plar ce sur la projection du premier. Pendant que le premier mobile parcourra les côtés AB, BG, CD, DE, EF et FA, le second décrira les lignes 06^ bCy cd, efy fa; la somme algébrique de ces dernières lignes est évidemment nulle, car, après les avoir successivement décriies, le mobile revient à son point de départ j or ces
lignes aby bc^ prises avec le signe qui leur convient, sont
précisément les projections des côtés AÈ, BC, ; donc la
somme de ces projections est égale à zéro.
GoRotLAiRB. Les projections, sur une direction quelconque, de deux contours polygonaux ABCD, AB'C'D ( fig. Ùê ) ,
Sot
tSTminés aux mêmes extrémités A et D^ sont égales entre
elles; en effet, la réunion de ces deux contours forme un polygone fermé ; si donc on désigne, par la notation abrégée (AB) , la projection sur x'x de la droite AB dont la direction est indiquée par Tordre des lettres A
