OM "" OM
les deux courbes seront dites semblables et semblablement placées; k sera le rapport de similitude; les points 0, Ci, M, M}... seront homologues. A chaque point du plan de la courbe G correspondra un point homologne de la courbe Ci , car soit 1 un point quelconque du plan de la courbe C, joignons 01 , puis menons par 0| une parallèle à 01, et prenons
sur cette ligne le point Ii tel que l'on ait -j-^ = fc, je dis que les points I
et I| seront des points homologues et qu'ils peuvent tenir lieu des points primitifs O et d; effectivement, les rayons vecteurs IM, IM',... sont évi* denunent parallèles à I|M|, TiM^ et on a de plus :
K^l 1\^\ jL
IM "" l'M' "" '
m GÉOUÉTRIE ÂNALYmUS A BEUX DIMENSIONS.
Lorsque deux points homologues se confopdent en un seul, ce point unique est dit le centre de similitude des deux courbes. Ce centre de similitude est évidemment le point de rencontre G de deux droites telles que OOi et II^ qui joignent deux points homologues; on démontre dans les éléments de géométrie qUe les droites CM > CM' passent respectivement par les points M| , M'i ,
11 est aisé de voir que les tangentes en deux points homologues des courbes G et Ci, sont parallèles; en effet, leg triangles OHM', OiMtN'i ont les côtés parallèles chacun à chacun ; or le parallélisme des edtéi Mil', MtM\ continuera d'avoir lieu, si les points homologues M' et M't se rapprochent indéfiniment des points M et M' i or à la limite ees deoi lignes deviennent des tangentes.
979. Deux figures semblables et semblablêinéni ^laéées éiani 8od^ nées , si Tune d'elles est fixe et qu'on fasse toiirhclt' Paltitre dans son plan, la similitude de position sera complètement détruite, mais la simi* litude de forme continuera d*avoir lieu. Il est très-aisé , d'après ce qoi précède t de reconnaître si deux courbes données par leurs équations sont semblables.
latent
f^,y)^0 et f[»»y)mO»
les <gaationi 4ê ^ux conrbes situées dans im mémci plan e« dans 4w plans parallèles. Nous supposerons que les fti9s auxquels la pramiè» courbe est rapportée soient rectangulaires et parallèles à ceux qui se rapportent à la seconde courbe. Supposons les deux courbes semblables et semblablement placées, et soit k le rapport de similitude; soient o^o.yo le point du plan de la seconde courbe homologue de Torigine relative à la première courbe; x\ y' un point quelconque de cette courbe , {x, y) le point homologue de la première, on aura évidemment, par de simples triangles semblables :
x' — Xf^ Vl—j/o^fc
Ponc les équations (1) et (2) seront identiques quand on aura siis dans U première ^^ "7 au lied de », ^^ "T ' au lien de y. Supposons par exemple qu'il s'agisse de deux courbes du second degré :
A v«+ B»y+Ca;«+ Dy + Ei -♦- F= 0, ^'1^+ B'ap»4-C'as»4- D'y-f- E'« + F=0.
AFPKimfi. m
JMSt la iiibitttatim indifDée dans la preaûèft elle fleTlmt s
Aift+B»éyè+Ca^o~»I>»6-W0+FIIP=s(K
i IqnÉtibii Aèv^ï 6tte Identiittiô ft fAtHàtiOÂ $) , ùû & léi itàq Ions :
A Dfc — 2Ayo— -Bag»
A'~ ly
A Efc — 2Ciro— Byo
A Ay«o + Bacoyo4- Ca!«o + fcPyo— fcEgo+ FHp» A' T '
i ici trois inconnues opo, yo et fc; il y aora donc deux conditions de Utude qui sont :
trois dernières éipiations , écrites plus haut , serviront à déterminer (o et k,
résulte de là que deux ellipses dont les axes sont proportionnels sont Diables. La même chose a lieu pour deux hyperboles dont les axes
proportionnels. Seulement ici il faut distinguer le cas où les axes sverses sont homologues , et le cas où l'axe transverse de Tune est nologue de Taxe non transverse de l'autre. Dans le premier cas,
se passe comme pour Tellipse ; mais dans le second cas, le rapport limilitude est imaginaire; les deux hyperboles satisfont bien à la lition analytique de la simitude , mais elles ne sont pas semblables point de vue où l'on se place ordinairement dans les spéculations nétriques. On peut dire que chacune d'elles est semblable à la contée de l'autre. On voit enfin que toutes les paraboles sont semles.
a trouvera très-aisément les conditions pour que deux courbes don- I soient semblables seulement de forme *, il suffit effectivement pour
aeo GÉOMÉTRIE ilNALtriQUE A DEUX DIMENSIONS.
cet objet de faire tourner Tune des deux courbes dans son plan d'an angle indéterminé a, de manière à rendre les courbes semblablement placées. Cela équivaut évidemment à changer dans l'une des équations proposées x en (ccosa — ysina), y en (d;8ina + ycosa]; on suivra ensuite la marche que nous avons indiquée. En appliquant ceci aux équations du second degré, on retrouverait les conditions déjà obtenues.
nu DE LA PREHIÈRB PARTIE.
