Changement de la direction des axes. Supposons que
Ton veuille passer des axes Oxy Oy, Oz (fig. 152) aux axes Ox\ Oy', oy ayant même ortgîne 0.
Nous désignerons par x^y^z les anciennes coordon nées d'un point M, par j?',t/',^ les nouvelles coordonnées
flg. 152. du même point ^
ainsi on aiira, dans le cas de la figure 452 :
DES COORDONNÉES REGTIUGNES. 375
a? = + OQ, y = + QP, z= + ?M; ir'= + OQ', y'=+Q'F, V^ + FM.
Les deux contours OQPM et OQTTVf étant terminés aux mè[ne6 extrémités 0 et M ^ si on les projette sur une ligne OX perpendiculaire au plan yOz , on aura :
(OQ) = (OQ') + (QT') + (FU) ,
en adoptant la notation du n° 280 et observant que les pro* jections de QP et de PM sur OX sont nulles. Or, si la disposition de la figure a lieu, on a (OQ) =sxcosXOx^ ou, pour abréger,
(OQ) = a?cos(Xr).
Cette égalité aura lieu encore si le point Q est du côté des x négatives; car alors la grandeur de OQ, au lieu d'être x, serait — a?, et, d'autre part, il faudrait substituera Pangle (Xx) son supplément.
On aura de même :
(OQ0=rr'cos(Xa;'), (QT') = y'cos(Xy'), P'M = z'cos(X8'); donc
X cos (Xx) = a?' cos [Xx') + y'cos (Xj^') + z' cos (Xz').
Cette formule donne la valeur de x en fonction de x^, xf^ z' et des angles qui fixent la position des nouveaux axes par rap* port aux anciens. On aura de même les valeurs de y et de z, en projetant les deux contours OQPM, OQT'M sur deux droites OY et OZ respectivement perpendiculaires aux plans xOzy xOy. On a ainsi les formules :
!arcos(Xa?) = a?'cos(Xa?') + y'cos[Xy') + 2^co&[Xz') , y cos( Yy) = j?'cos(Ya;') + y'cos(Yy') + ;5'cos(Y2') , z cos {Zz) = ar'cos(Zic') + y'cos(Zy') + z'cos(Zz').
La démonstration que nous venons^ de donner est générale et embrasse tous les cas. On en déduit immédiatement les fo^ mules de la géométrie plane , en faisant z == 0 , ^ = 0 et supposant que le plan xy coïncide avec le plan xy.
293. Supposons que les anciens axes soient rectangulaires; les lignes OX, OY et OZ coïncideront avec Ox, Oy, Oz respectivement. Si alors oa désigne par a, 6, c les cosinus des angles que fait Ox avee Oa/, Oy' et Oz' ; et par o', 6', c'; a", b% c" les cosinus des angles formés avec ces mêmes axes par Oy et Oz respectivement , les équations (1) deviennent :
fa? == 6w?'+ 6t/' + cz' , y = a'x'+h'y'+c'z', z = a''x'+¥i/+&'z'.
Les neuf cosinus, qui figurent dans ces équations (2), ne sont pas indépendants les uns des autres ; il n'y en a que six d'arbitraires; on a effectivement entre eux (n® 281) les trois équations :
294. Les mêmes formules (2) sont aussi relatives au cas où les nouveaux axes sont rectangulaires en même temps que les anciens; mais cette condition établit trois nouvelles relations entre les neuf cosinus, en sorte qu'il n'en reste plus que trois d'arbitraires. On peut obtenir très-simplement, comme il suit , les trois conditions dont on vient de parler. Pour un
%fti
DES COORDONNÉES RECTILIGNES. 377
point M situé sur Ox à une distance de Torigine égale à l'unité , on a :
x*=.a, y^=by z'=c;
les équations (2) deviennent alors :
1 = a* + 6^ + cS 0 = aa'+bb'+cc' ,
0 = aa''+bb" + cc'\ .
On aurait six autres équations en appliquant les mêmes formules (2) à un point de Taxe Ojf ei à un point de l'axe Oz. Cela donne ^ en résumé^ six équations distinctes^ savoir :
Ia2 (58 -l-c* =1 , [ad -\-bV -^ce =0,
o'«|6's + c'»=:l , (5) jaa"+66"+cc"=0, a'^î-j. 5''8-|. c''ï= i ^ ( oV'+ 6'6"+ cV'= 0.
Il est aisé d'établir directement et à priori qu'il suflSt de trois quantités pour fixer la position de trois axes rectangulaires par rapport à trois autres.
En exprimant x'y y', z' en fonction de a?, y, z, on trouve évidemment:
x'=ax-\-a'y-\-d'z, y' = bx + Vy+b"z, z' = cX'\' c'y -\- c"z.
En appliquant ces formules à trois points situés respectivement sur les axes Oj:', Ot/, Oz' à la distance 1 de l'origine, on obtiendra les équations suivantes :
a^ + o'^ + a''*^!, /a6 + aV+a'^"=0,
(6) {6^+6'* + 6"*=l, (7) [ac + aV + oV=0, c8+c'«+c''* = l, ' (6c + 6V + 6V'=0.
Mais il mi aisé de s'assurer que le système formé par ces six dernières équations est équivalent au système des six équations (4) et (5).
9115. Formules d^Eiiler, On peut exprimer au moyen de trois angles seulement les neuf constantes qui figurent dans les formules relatives au passage d'axes rectangulaires à d'autres axes rectangulaires. On obtient
ainsi les formules don- ^/ nées par Euler et que
nous allons établir.
Soient Oa?, Oy,Ox les anciens axes rectangulaires; Oa/, Oy', 0;f' les nouveaux^ (fig. 153); soient enfin ON Tintersection des deux plans xy et aj'y'. Nous désignerons par cp l'angle NOa;, part^ l'angle NOa/, et enfin par t Tangle do plan xy et du plan s^tf.
flf. IS3. Gela posé, imaginons
une sphère décrite du point 0 conune centre et qui coupe en A, B, G, A' et N les lignes Ox, Oy, Ox, Oo:' et ON; formons enfin les triangles sphériques NAA', NA'B, NA'C. Les cosinus des côtés AA', BA', CA' sont lespectivement égaux à a, a', a" ; on a d'ailleurs NA=r, NB^QO*—?! NA' = + ,NC = 90% A'NB=e, A'NA= 180«— 6, A'NC=90« — 6. On t donc, par la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique :
a -=cos9008^— sincpsin^'CosO, a' = sincp cos^ -H coscp sin (]/ cos6 , a"= sin ^ sin 8.
Il est clair que les valeurs de b, b', b" se déduisent de celles de aya'fa'\ en changeant ip en 90*> + <!/, car ce changement fiait prendre à Ox' la position Oy' ; on obtient ainsi :
b = — coscpsin^»— sincpcos^l^cosB, b' = — sin 9 sin ({/ + cos 9 cos 4/ cos 0 , b"=co8 «lysine.
DES COORDONNÉES RECTIUGNBS. 379
Enfin j pour avoir les yaleurs de c, d, c", il suffit de renaplacer, dam lat valeurs de a, a', a", 6 par 90"+ 6 et <]/ par 90*; en effet, par ce changement, le plan rs'ON se change en n'O^ et la ligne Ox' en Ox\ On obtient ainsi:
c— sin98inO, c'ss'CoscpsinO,
c"=cos6.
Ce <ial précède permet de ramener les formules de la transformation des coordonnées à ne contenir que les trois angles 9 , 4^ , 9.
M6. Manière d*ohtenir Vintersection d*unê surface par un plan. Pour avoir Tintersection d'une surface par Tun des plans coordonnés, le plan xy par exemple, il' suffît de faire x=0 dans l'équation de la surface. Supposons maintenant qu'il s'agisse d'avoir l'intersection d'une surface :
par un plan quelconque ; nous supposerons les axes rectangulaires et noui changerons de coordonnées en prenant pour plan des «y le plan donné. Les formules à employer sont alors :
x=zXq + aaf + hy' -\- ex' , y=yo + aV + 6y + C;j', %=:$.+ a"xf'+ 5' V'+ Cy ,
^t Vof ^« ^^^Bjai les coordonnées de la nouvelle origine. Or, si l'on a pris l'axe des x^ parallèle au plan xy, on a.<j/=0; et, si l'on fait en outre x'=0, les formules précédentes deviendront :
asrflpo+flp'coscp— y' sincpcosB , yrrry^-f aj'sin9+ y'coscpcosS , X=jSf, + y'sine.
Après la substitution de ces valeurs dans l'équation proposée, cette équation représentera l'intersection demandée.
297. Les formules , qui expriment les coordonnées relatives à trois axes, en fonction de celles relatives à trois autres axes, sont linéaires; il s'ensuit que le degré d'une équation
algébrique à trois variables ne change pas par la transfonnation des coordonnées. Cela conduit à classer les surfaces algébriques d'après le degré de leur équation. Ainsi une surface sera du premier, du deuxième, etc., degré, suivant que l'équation qui la représente sera elle-même du premier, du deuxième, etc., degré. Il s'ensuit qu'une surface du degré m ne peut rencontrer une droite en plus de m points; en effet, si l'on prend la droite dont il s*agit pour axe des x, on aura les abscisses x des points d'intersection en faisaût j/=Oet z=0 dans l'équation de la surfacie; or l'équation résultante est au plus du degré m et ne peut avoir plus de m racines réelles, ce qui démontre la proposition énoncée. Il faut cependant remarquer le cas où l'équation proposée se réduirait à une identité; alors la droite serait contenue tout entière dans la surface.
Remarquons encore que les sections planes d'une surface du degré m sont généralement des courbes de ce même degré; en effet, si l'on prend pour le plan xy celui d'une section faite dans une surface algébrique de degré m , on obtiendra l'équation de la section en faisant z = 0 dans celle de la surface. Le degré de Tintersection sera donc en généiral égal à m. Toutefois il pourra être moindre que m , dans quelques cas particuliers; car Thypothèse 5? = 0 peut faire disparaître tous les termes du degré m. Il peut même arriver que tous les termes de Téquation disparaissent; mais, dans ce cas , le plan z == 0 fait partie de la surface considérée et réquation de celle-ci se décompose en facteurs.
DE LA LIGNE DROITE ET DU PLAN. :î8I
