CHAPITRE m
BQUATIONS DE LA LIGNE DROITE. — ^EQUATION DU PLAN. — ^TOUTE EQUATION DU PRBIOER DEGRÉ A TROIS VARIABLES REPRESENTE UN PLAN.
298. D'après ce qui a été dit précédemment, on peut prendre , pour les équations d'une ligne , celles qui représentent ses projections sur deux des trois plans coordonnés. Par exemple^ si x=ax-{-p représente la projection d'une droite sur le plan xz; que y = hz-{-q représente sa projection sur le plan yz , on pourra prendre, pour la droite elle-même, le système defi deux équations :
^^i \y^bz + q.
Si Ton élimine js entre ces deux équations, on aura évidemment la projection de la droite sur le plan ocy.
Les quantités p et g sont les coordonnées xeiy du point oii la droite, représentée par les équations (1), rencontre le plan xy^ en effet, on a, pour ce point, z = 0; par suite, ces équations donnent x=p , y = q.
Le cas d'une droite parallèle au plan xy n'est pas compris dans ce qui précède; car les projections sur les plans
XX et yz sont représentées par une même équation de la forme:
il faut joindre alors à cette équation celle de la projection sur le plan on/ et qui a la forme :
y = oa: 4" '•
299. Proposons-nous maintenant de trouver l'équation da plan. Soient I (fig. 154) le pied de la perpendiculaire abaissée
de TorigineO surun plan donné, et M un point quelconque de ce plan ; les coordonnées Xy y, z du point M ont pour valeurs absolues les droites OQ,QPetPM.
Nous désignerons en outre parp la longueur de la perpendiculaire 01 , et par a, 6, ^ les angles que fait sa direction avec les axes des coordonnées. Gela flg. 154. posé, la projection sur la direc-
tion 01 du contour OQPMI sera évidemment égale à 01 ou p; on aura donc, en observant que la projection de MI est nulle :
ou
(OQ)+(QP) + (PM)=p, ircosfli + ycosê+j'fcosY — p=0,
Remarque. Il est aisé de voir que le raisonnement subsiste dans le cas de p = 0 ; alors la projection du contour que nous avons considéré est nulle, et on a simplement pour l'équation du plan :
ojcos a + j/cos6 4"^ <*'<>s Y =0.
300. On voit^ par ce qui précède ^ que Téquation du plan est du premier degré. Réciproquement toute équation du premier degré représente un plan. Cette propriété résulte de ce qui a été dit au vfi 297; effectivement, Téquation du premier degré représente une surface; en outre, cette surface ne peut rencontrer une ligne droite qu'en un seul point, à moins de la contenir tout entière ; ce qui est la propriété caractéristique du plan.
TROUVER LES éOCATIONS d'uNS DROITE: i^^QUI PASSE PAR VEUX POINTS donnés; 2** QUI PASSE PAR UN POINT DONNE ET QUI SOIT PARAL- LÈLE A UNE DROITE DONNÉE.
301. Supposons d'abord qu^il s^agisse de trouver les équations d'une droite menée^ par un point donné, parallèlement à une droite donnée.
Première solution. Si deux droites sont parallèles, il est évident que leurs projections rectangulaires ou obliques sur un même plan sont parallèles ; réciproquement , deux droites sont parallèles si leurs projections sur deux plans qui se coupent sont parallèles. Il résulte de là que les conditions du parallélisme de deux droites
f x = az + p f x = a'z+p' ,
[y=bz + q {y = b'z + q' r
sont :
Cela posé , on peut supposer que la droite donnée passe par l'origine des coordonnées. Soient alors
x = azy yzzzbzj les équations de cette chx)ite. ly après ce qui a été dit (n» 298),
les équations de la droite demandée auront la forme :
x = az + p, y = bz + q;
eiy^œ^y y', z' désignent les coordonnées du point donné, on aura :
af = az!+p, y'=bz! + q,
équations qui donnent les valeurs de p eiq; d'après cela, les équations de la droite demandée seront
X'^af=ia(z — z!) y y — yf=^b{z — z!).
Deuxième solution. Soient W(xf,y',z') (fig. 4S5) le point
donné de la droite demandée D, et M(rc,î/,«) un autre point quelconque de cette droite; les coordonnées des points M et M' seront représentées en valeur absolue par OQ,QP,PM et OQ', QV, PTA'. Gela posé, si l'on projette sur une droite OX perpen- #1*8- «55. diculaire au plan yz le
contour QPMMT'Q' et la ligne résultante QQ', on aura, en faisant abstraction des projections qui sont nulles :
