Soient Ou et Ow' deux droites données

désignons par a, 6, y ^^^ angles que forme Oi^ avec les axes des coor^ données ; par a , 6',y 1^ angles que forme Ou' avec ces mêmes axes; enfin par 6 Tangle tiOw'. Prenons sur.Otf une distance OM égale à Tunité linéaire; abaissons MP perpendiculaire sur le plan xy et PQ perpendiculaire sur Ox. Les proftg. isT. jections sur Ou' du contour OQPM

et de la ligne résultante OM sont égales. On a donc , d'après la notation déjà employée :

(0M) = (0Q) + (QP) + (PA1).

OrOQ=:dicosa; et, si le signe -f- & lî^u, l'angle ii^OQ est égal à a', tandis que cet angle est égal à iSO*" — a' dans le

cas contraire. La projection (OQ) est donc égale, dans tous les cas, à cosa cos oc' ; on verrait de même que les projections (QP) et (PM) sont respectivement cos6 cosff, cos y cosf'; d'ailleurs (OM) est évidemment égale à cos 0 ; donc

cos 6 = cosa cosa' -|- cos6 cos fi' 4" <^s Y cosy'.

Supposons maintenant que les droites données aient pour équations :

x=zax y yz=zbz i x=a'z, y=zb'z.

On a:

CQStt=--— f C0SO=: "j COSY=

de même :

COSa'=-— r==, COSo'=-— rr==: , C0S7=

^rf^+b'^+i ^a'*+6'«+i ^a!^+V'+i

Donc

aa!+bV+i.

cose=

Remarque L Si les droites données sont perpendiculaires Tune à Tautre, on a cosO=0; et , par suite, la perpendicularité des deux droites est exprimée par Tune ou l'autre des

deux équations :

cosa cosa' + cos6 cos6' -f cos Y cosy = 6 , aal + bb' + i = 0.

La première de ces conditions s'est déjà présentée immédiatement à nous dans la théorie de la transformation des coordonnées.

Remarque //. On trouve aisément que la valeur de sinO est :

3i^ ^ ^ s/(^^=^?+ (fc- br+ [ab'-Mf •

Pour que sinO soit nul, il faut et il suffit que Ton ait:

On retrouve ainsi les conditions y déjà obtenues , du parallélisme de deux droites.

CONNAISSANT l'ÉQUATION d'uN PLAN^ TROUVER LES ANGLES Qu'iL FAIT AVEC LES PLANS COORDONNÉS (COORDONNEES RECTANGULAIRES).