Soient

Aflp+By-fC«+D=0,

Mx+B'y-\-Gz+V=Oy

les équations des deux plans donnés ; on aura évidenufient la projection de l'intersection sur le plan xz , en éliminant jf entre ces deux équations; il vient ainsi :

(AB'-#BA>-f(CB'— BC>+DB'— BD'=:0.

On aura d'une manière semblable les projeoiiona sur les deux autres plans coordonnés.

Les équations de ces projections sont impossibles^ si l'on a :

mais alors les plans «ont parallèles^ ainsi qu'on Ta vu (n« 306).

TRomnn i.'iiiTBii«iCTioN »'u]9B PRorns n d'un puh wxtn on 309« Soient l'équation du plan donnée

edlat de la droite donnée; on aura les coordonnées du point d'intersection demandé en résolvant les équations (i)et(2} par rapport à m, y^z; on trouve ainsi :

Ap + Bg + D ^Ap + Bjf + D

Aa + B6+C' Aa + Bft + C"'"^'

AM:Bq + D * ^Aa + BA + C + ^'

Ces valeurs sont infinies, si ka+Bb-^-C est nulle et que Ap^i^B^^-D ne le soit pas. Tl en résulte que la condition du parallélisme du plan (1) et de la droite (S) est

Aii + B* + G=0.

$ l'on a en outre :

Ap+Bg+D=0,

la droite (2) est tout entière contenue dans le plan (1).

GOIQIAISSANT LBS GOORDOmŒES DE DEUX POINTS^ TROUVER

LEUR DISTAHGE.

310. La solution de cette question se déduit immédiatement de la formule qui fait connaître l'expression de la diagonale d'un parallélipipède donné. L'expression dont il s'agit a été obtenue (n"" 281) pour le parallélipipède rectangle. Nous allons traiter la même question pour le parallélipipède

oblique. Soit le parallélipipède OABCO'A'B'C' (fig. 456). Désignons par a, b, c les arêtes oontiguës OA,OB, OC'; par a, 6, y les angles BOG', C'O A et AOB que forment ces arêtes. La figure OCffG est un parallélogramme, fig. ise. par suite la somme des carrés

des diagonales est égale à la somme des carrés des quatre côtés; on a donc:

00' 4.GG' =2c +20C*;

mais le triangle OAC donne :

OC* = a* + 6* — 2a6 cos OAC = a* -f 6* + 2a6 cos f ; donc (1) 0&' + CG'* = 2a« -f 26* + 2c* + 4a6 cos y.

On trouverait d'une manière semblable :

(2) ÔO* + Bff* =2a* +26* + 2c« + 4accos6, et

(3) BB^ + CC'* =2a* +26* + 2c« — 46cco8a;

si Ton ajoute les équations (1) et (2) et qu'on retranche du résultat Féquation (3), il viendra , en désignantOCy par d.ri* = a* + 6* + c* + 2(i6cos y + 2occos 6 + 26c cos a.

311. Supposons maintenant qu'il s'agisse de trouver la distance d de deux points A(x, y, z)y B(afy y', z') ; nous désignerons par oc^S^Y 1^ angles yOzjxOz,xOy. Cela posé^ menons par chacun des points A et B trois plans parallèles aux plans coordonnés; les arêtes contiguês de ce parallélipipède seront égales aux valeurs absolues de x — aî',y — y'yZ — «'j en outre ; si ces différences sont positives^ les angles^ formés avec les axes par les côtés du parallélipipède qui partent du point A , seront a, 6, y* ^ &ura donc :

^^={x-af)^+(y-y'Y+(z-z')^+i[x-x'){y-y')cost +2(j:— x')(;8— i')cos6 + 2(y— y')(js— y)cosa.

La même formule aura lieu ^ si les différences ne sont pas toutes positives; en effets si x — x' était négatif, il faudrait changer son signe dans la formule que nous venons de trouver ; mais il est évident qu'il faudrait en même temps changer 6 et y dans leurs suppléments, ce qui ne produit aucun changement dans l'équation. On voit ainsi que la formule précédente est générale; cette formule, dans le cas des coordonnées rectangulaires , se réduit à :

h*=(x-x^)- + (y-tfy + {z-z')\

IH GÉOMATRIB an ALYTIQUB A TIMHS DIMENSIONS.

d'un point DONNé ABAISSER UNE PERPENDICULAIRE SUR CN VUM] TROUVER LE PIED ET U GRANDEUR DE IX rEVIllDlGIIUIRK

(coordonnas rectangulaires).

312. PoiiP qu'un plan soit perpendknilaipe h uike droite) il faut et il suffit que les traces du plan sur deux plans perpendiculaires soient respectivement perpendiculaires aux projeo tions de la droite sur ces plans.

Soient

Aj?4-By + Cz4-D=0,

f équation d'un plan et

les équations d'une droite. Les traces du plâA sur les piim XX, ysÊ auront pour équations :

Les conditions de perpendicnlarité sont donc :

A — Ca = 0, B— C*=0.

513. Supposons qu'il s'agisse de mener par un point (x'y y' y si) une droite perpendiculaire au plan

(1) A«+By + Gs + Da8i0<

Les équations de la droite seront de la forme

et^ puisqu'elle doit être perpendiculaire au plan donné j on

DE LA UGlfE DROITE ET DU MJiN. Wk

Les équations de la droite demandée sont donc :

Pour avoir l'intersection du plan donné avec la droite (2) , nous écrirons l'équation du plan sous la forme :

(3) A{x—af)+B{y'^')+C{z—z!)+(Ajf+By'+Cz'+J)) =0. Des équations (2) et (3] on tire :

(A\ ^ ^'- C{Aaf+Byr+U+ï))^

cette formule fait connaître la coordonnée z du point d'intersection demandé. Les équations (2) donnent ensuite x et y. Désignons par d la distance du point donné au plan donné; on aura :

ou^ à cause des équations (2) et (4) ,

"• A* + B*4.C« ' et

Ax'+BiZ+Cz'+B

Remarque I. Si Ton supprime les accents dans Téquation précédente, il vient:

Ax + By + ûg + D=dv/Â*+BH^

Ce qui montre que le premier membre de réquatioh d^un plan , quand on y remplace â?^ y> i par les coordonnées d'un

point quelconque de l'espace^ est proportionnel à la distance de ce point au plan.

Remarqua IL Si Ton prend l'équation du plan sous la forme

aîOOSa+yoosfi+jgcosY — p=0,

la distance du point (x, y , jr) à ce plan sera simplement :

±:(arcosa+SCOs64-*cosY — p)-

Remarque III. Pour men^^ par une droite donnée^ un plan perpendiculaire à im plan donnée il suflSt de mener par h droite donnée un plan parallèle à une droite perpendiculaire au plan donné,

MENER y PAR UN POINT DONNE ^ UN PLAN PERPSNDIGULAIRB A UNE DROITE DONNÉE (COORDONNEES RECTANGULAIRES).

314. Soit (x'f y' y js') le point donné par lequel il faut mener un plan perpendiculaire à la droite

x = az+py y=bz + q;

le plan demandé passant par le point {x'y y', z') , son équation sera de la forme

A(x-xf) + B(s-ï') + C{z-z') = G ;

en outre ^ puisqu'il est perpendiculaire à la droite donnée, on aura :

l'équation du plan demandé sera donc

a[x—af)-\-b{y—y')-i-(x—^) = 0.

XENBR PAR UN POINT DONN^ UNE PRRPENDICULAIRB A UNE DROITE DONNÉE^ DÉTERIONER LE PIED ET LA GRANDEUR DE CETTE PER- PENDICULAIRE (cOORDONNiES RECTANGULAIRES).

518. Soient (a/, y', z') le point donné , et (4) x=az+p, y=bz + qf

les équations de la droite donnée. L'équation du plan, mené par le point donné perpendiculairement à la droite donnée , est :

(2) a(x--af) + biy-i/)+(z-z')=0;

celle du plan mené , par le point donné et par la droite donnée ^ est :

X — az — p y — bz — q

x' — az' — p "" yf — bz' — q '

ou , si Ton veut ,

(a:-^)-a(z-Z-) ^ (y-y')-b(z-z')^ ^ ' xf — az' — p y — bz' — q

La perpendiculaire demandée est donc représentée par les équations (2) et (3). On aura évidemment le pied de cette perpendiculaire en résolvant les équations (1) et (2) par rapport à Xy yetjK.

On peut écrire de la manière suivante les équations des projections de la droite donnée sur les trois plans coordonnés^

(x—x') — a(z — «')= — [x' — az! — p)

(4) { (y^yr)^b{z--Z')=-(tf^b^~q)

l{x —xf)— a(îf — yf) = («V'— bx^+bp— aq).

GÉOMÉTRIR ANALYTIQUR A TROIS DIMENSIONS.

Si Ton élève au carré Téquation (2) et les équations (4) , puis que l'on ajoute ensuite^ il vient :

Si donc on désigne par d la distance du point donné à la droite donnée^ on aura :

il est aisé de s'assurer que la même formule peut s'écrire de la mamèrç suivante :

d= s/(af-^f+i^-^Y+^*-^^^^=^^=p^

CONNAISSAlfT LES lÊQUATIONS d'uNB DROITE^ D^tERMIKER LCS AH6LIS

de cette droite avec les axe3 des coordonnees (coordonnées rectangulaires)*

316. Menons^ par l'origine des coordonnées , une parallèle à la droite donnée^ et soient

(i) x = azy îf = 6j2,

la» équations dd c^te parallèle. Désignons par <^6^f]mm' gles formés avec les axés par l'une des deux directions OM de la droite donnée. Prenons sur cette direction une longueur OM égale à l'unité linéaire. Le^ coordonnées du point M, qui sont cosçc , cosë^ cos y> satisfont aux équations (1); on a

dono:

(2) d'ailleurs , (3)

cosa=acosY> cos6 = 6cosy;

coeHi + cos*6 + coe'Y = ^ >

A Vùu tire des équations (2) et (3) ;

eos«

=,coSY=

Dans ces formules, le radical doit être pris partout avec le même signe; mais ce signe est indéterminé. Le signe -j- convient à Tune des directions de la droite donnée, le signe — à l'autre direction. Effectivement les deux directions de la droite font avec la direction d'un même axe des angles supplémentaires.

TROUVER l'angle DE DEUX DROITES DONT ON CONNAIT LES ÉQUATIONS

(OOOUDOIIMBBS RSGTANaia»AIRES).