Ellipsoïde. Lorsque P,P'iP'' ont le même signe ^ la

4» GËOSIËTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIHEHSIONS.

surface, qae représente l'équation (i), prend le nom A'EltiptiÂde. Si ces coefficients sont négatib, l'équation (1) n'adm^ aucune solution réelle et l'on dit qu'elle représente un ellip' toide imaginaire.

Supposons donc P, F, P" positifs. Pour avoir les points où la surfiice rencontre tes axes, il faut égaler à zéro y et z, puisxetz, enfin j; et y; on obtient ainsi :

Posons:

l'équation de la surface devient :

Si l'on prend OA— OA'=a sur l'axe des x (fig. 161);

(ffi=OB' = fr sur l'axe des s; OG=OC' = csur l'axe des x, les six points A, A', B, B', C, C appartiendront à la surface; les droites AA', BB', CC' sont dites les longueurs des axes de l'ellipsoïde; leurs extrémités sont les sommets.

Chacun des plans coordonnés est évidemment un plan principal de la surface, et coape la surface suivant une ellipse dite section prineipaie. Ces el- Bg- 1»' lipses ont respectivement pour

axes 2a et S6, 2a et 2c, 26 et 3c.

On déduit de l'équation de l'ellipsoïde un mode de génération très-simple de cette surface. Ej3fëctivement, si l'on coupe l'ellipsoïde par un plan parallèle à l'un des plans coordonnés^ au plan ojy, par exemple^ il est clair que l'intersection sera représentée par deux équations de la forme :

La courbe définie par les équations précédentes est une

I ?^ / ?* ellipse dont les axes sont 2ai/l 5-, 26 1/1 j-. Cette

ellipse est réelle si z' est compris entre — ceX-\-c;on voit en outre que si s^ varie d'une manière continue entre ces limites — c et + c , l'ellipse dont nous parlons , en variant de grandeur et de position^ engendrera l'ellipsoïde. Il faut remarquer que le rapport des axes de l'ellipse génératrice est constant et

égal à ^; ces axes varient l'un de 2a à zéro^ l'autre de 2b à

zéro, n s'ensuit évidemment que l'ellipsoïde est une surface fermée dans tous les sens.

355. Dans le cas général Tellipsoïde est dit à trois axes inégaux^ dans le cas particulier où deux de ses axes sont égaux, la sur&ce est de révolution autour du troisième axe. Supposons par exemple a =6, l'équation de l'ellipsoïde devient:

les sections parallèles au plan œy sont représentées par deux équations telles que :

/, x^+f = a'(^i-Çf

D 8'ensuit que la surfoce peut être engendrée par un cercle de rayon variable ^ dont le plan reste parallèle au plaii xy , et dont le centre se meut sur l-axe des x. En d^autres tenues, la surface est de révolution autour de Taxe des x. La màidieime de cette surface de révolution est une diipoe dont on aun l'équation^ dans le plan xz^ en faisant y =0 dans celle de la surface. L'équation de cette méridienne est donc :

S38k Enfin y si les trois axes ^, 2b , 2c sont égaux entre eux, l'équation de la sur&ce se réduit à

cette équation exprime que la distance de chaque point de la surface à l'origine est constante et égale à a. La surface de la 6phère est^ 4X>mme on le voit^ un oaa particulier de l'^ipsolde.

337. Hyperboloïdb à une nappe. Si l'un des coefficients P^ F, P'^ est négatif, et que les deux autres sdent positife^ la surface représentée par Téquation (i]est dite un Hyperboldiie d une nappe. Nous supposerons P et P' positif , V négatif; les points où la sur&ce rencontre les axes sont donnés par les équations :

posona^:

\/f=«, V^=^' yp;=W-i;

réquation de la surface devient :

Si l'on prend OA=OA'=a (fig. 162) sur Taxe des x, OB =LÙB'=b sur l'axe des y ; OC = OC = c sur l'axe des z;

les quatre points Â , Â'^ B^ B' appartiendront à la surface; les droites AÂ'.BB' etCG' sont dites les longueurs des axes de rbyperboloïde; les. deux premières qui rencontrent la surface prennent le nom à!axes réels, la troisième est dite axe imaginaire. Les extrémités des axes réels sont les sommets de la surfiice.

Chacun des plans coordonflg. 162. nés est un plan principal de

la surface et coupe celle-ci suivant une courbe dite se^^tian principale. La section principale, située dans le plan xy^ est une ellipse; les deux autres sont des hyperboles. Les axes de ces trois courbes sont respectivement 2a et 2& , 2a et 2c ^ 26 et 2c..

L'hyperboloïde à une nappe est susceptible d'un mode de génération analogue à celui de l'ellipsoïde. Si^ en effet, on coupe cette sur&ce par un plan parallèle au plan xy, l'intersection sera représentée par deux équations de la forme :

::?+fi = i+7r-

La courbe définie par les équations précédentes est une

eUîpse dont les axes sont 2a \/i + -r> ^*\/^H — r*^*^

ellipse est réelle quel que soit si. On voit en outre que, si js' varie d'une manière continue de — cao à + oo, Tellipse^ dont nous parlons, en variant de grandeur et déposition^ engendrera rbyperboloïde. Le rapport des axes de l'ellipse génératrice est

constant et égal à r*. Ces axes varient l'un de l'infini à 2a,

l'autre de l'infini à 26 quand / varie de — oo à zéro , ou de 4-<>^ à zéro. Les valeurs minima de ces axes ont lieu lorsque l'ellipse mobile est située dans le plan x^, et alors elle prend le nom d^ Ellipse de gorge. Il suit évidemment de là que la surface, dont nous nous occupons, s'étend à l'infini et n'est formée que d'une seule nappe continue.

358. Lorsque les deux axes réels 2a , 2b sont égaux , l'hyperboloïde à une nappe est de révolution autour de l'axe imaginaire. Efifeciivement^ les sections perpendiculaires à cet axe sont des circonférences dont il renferme les centres. On obtient l'équation de la méridienne dans le plan xz , en faisant y = 0 dans l'équation de la surface. On trouve ainsi l'hyperbole :

339. Hyperboloïde a deux nappes. Si deux des coefficients P,F,P" sont négatifs, et que le troisième soit positif ^ la snr&ce représentée par l'équation (i) est dite un HyperholoïiB é deux nappes. Nous supposerons P positif, F' et P*' négatifs. Les points où la surface rencontre les axes sont donnés par les équations :

Posons:.

yf=«, yf =6v/=T, y/|;=cv/:^;

réquatioQ de la surface devient :

Si Ton prend OA = OA' = o (fig. 163) sur Taxe des Xj 0B=0B':;=:6 sur Taxe des y, OG=OC'=csurraxe des js,les

points A et A' appartien* dront à la surface; les droites AA', BB', CG' sont dites les longtieurs des axes de Fhyperboloïde; le premier^ qui seul rencontre la sur&ce est Vaxe réel ; les deux autres sont les axes imaginaires; la gg, 1^3, surface n'a que deux som-

mets qui sont les extrémités A et A' de l'axe réel. Chacun des plans coordonnés est un plan principal de la surface ; les plans xz et xy coupent cette surface suivant deux hyperboles qui prennent le nom de sections principales; la surfiuse n'u aucun point dans le plan principal yx.

Uhyperboloïde à deux nappes peut être engendré de la même manière que Tellipsoïde et Thyperboloïde à une nq>pe ; si en effet on coupe cette surface par un plan parallèle au plan yzy l'intersection sera représentée par deux équations de la forme

JO » ■ ■ Ju f

La courbe^ définie par les équations précédentes^ est une

ellipse dont les axes sont 26\/— j- — 4, 2c\/ — — 4.

Cette ellipse est réelle, à moins que (x^ ne soit compris entre — a et + fl* Si d varie de — oo à —a ou de -{- a à +qo, Tellipse dont nous parlons, en variant de grandeur et de position, engendrera deux nappes distinctes dont la réunion forme Thyperboloïde. Le rapport des axes de Tellipse génératrice est constant et égal à -; ces axes varient l'un et

l'autre de l'infini à zéro, quand ai varie de — oo à — a ou de +CO à+a.

340. Lorsque les deux axes imaginaires 26 et 2c sont égaux, l'hyperboloïde est de révolution autour de l'axe réel; car les sections perpendiculaires à cet axe sont des circonférences dont il renferme les centres ; on obtient l'équation de la méridienne dans le plan xz en faisant y=0 dans l'équation de la sur&ce; on trouve ainsi l'équation

341. CÔNES DU SECOND DEGfuS. Pour Compléter Fétudédes surfaces du second degré qui ont un centre unique, il nous reste à examiner le cas où le second membre H de l'équation (4) est nul, les coefficients P,F,P" étant toujours diflKrents de zéro. Alors l'équation ^4] se réduit à~

(4) Pj?« + Py+PV=0.

Si P, P' et P" sont tous trois de même signe, cette équation ne représente évidemment que le seul point réel :

aî=0, y=0, ^=0;

die donne alors une variété de l'ellipsoïde. Si, au contraire, l'un des coefficients P, P', P'' est de signe contraire aux deux autres ^ l'équation que nous considérons représentera un C&ne du second degrés surface que l'on doit considérer comme une variété de l'hyperboloïde à une nappe ou de rbyperboloïde à deux nappes. Pour le démontrer^ soient .

(2) x=zmZy y=znz

les équations d'une droite passant par l'origine; on peut éliminer x, y y z entre les équations (i) et (S), il vient ainsi :

(3) Pm» + F«» + P'' = 0;

si cette équation est satisfaite^ la droite (2) sera sur la surface (1); et, si l'on fait varier m et n de manière que cette même équation ait toujours lieu, la droite (2) tournera autour de l'origine et engendrera la surface. Il suit de là que l'équation (1) représente un cône du second degré.

Cette surface peut être considérée comme un hyperboloïde à une nappe dont Tellipse de gorge se réduit à un point , ou comme un hyperboloïde à deux nappes dont l'axe réel se réduit à zéro.

342. Cylindres elliptique et hyperbolique. Nous n'avons plus à considérer que le cas où quelqu'un des coefficients P, F, P'' est nul dans l'équation

Px* + Py+PV=H.

Supposons, par exemple, P'^=:0; Téquation se réduit à

p^«+py=H,

et elle représente (n^ 287), un Cylindre dont les génératrices

sont parallèles à Taie des ;3r. Si P et P' sont de même signe^ la base de ce cylindre est une ellipse; cette ellipse peut être imaginaire ou se réduire à un point; dans ce dernier cas, la sur&ce se réduit à l'axe des x. Mais si P et P sont de signes contraires^ la base du cylindre est une hyperbole: cette hyperbole peut se réduire à deux droites qui se coupent et, dans ce cas^ la surface est composée de deux plans qui se coupent.

343. Si Ton a en même temps PcrO, P"==0, Féquation de la surface se réduit à

elle représente alors le système de deux plans parallèles, qui se réduisent à un seul si H est nul.

Di$cus9Um des surfaces dinuies de centre.

344. Les surfaces dénuées de centre sont toutes comprises^ comme on Ta vu, dans l'équation

(i) Py + PV = Qa?,

où 0?, y, z désignent des coordonnées rectangulaires et où le coeflScient Q est différent de zéro. Nous supposerons d'abord F et P" différents de zéro. Si P' est négatif, on pourra le rendre positif^ en changeant les signes de tous les termes de l'équation; cela étant, on peut supposer Q positif^ car, s'il ne l'est pas , on le rendra tel en changeant la direction des x positifs^ ce qui revient à changer x en — X. flous supposerons donc P' et Q positifs, et nous

aurons à examiner le cas de ?" positif et celui de P''

négatif.

545. Paraboloïde elliptique. Si les trois coefficients P', P"

et Q sont positifs, la surface que représente Téquation (1) est dite un Paraboloïde elliptique. Cette surface ne coupe les ^ axes qu'à l'origine des coordonnées^ les plans xy et xz sont évidemment deux plans principaux ; Taxe des x est dit Vaxe du paraboloïde. Les deux flg. 164. plans principaux coupent la

surface suivant deux paraboles ÂOÂ'^ BOB' (iig. 164), dites

sections principaleê et qui ont pour équations :

z=:0, y^ = pJ^y

Si l'on désigne par p et p' les paramètres de ces deux paraboles^ on a :

et réquation de la surface devient :

Le paraboloïde elliptique est susceptible d'une génération analogue à celle que nous avons constatée pour les sur&ces à

MO GÉOHÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DUEKUONS.

centre; en effet, si l'oa coupe U surface par un plan parallèle au plan yz , l'intersection est représentée par deux équations de la forme :

= ar'.

- -f ^ = âx-.

Cc^te courbe est une ellipse dont les axes sont ^âpar* et \l%f'x'; elleestréelle mit' est positif; et, si x* varie d'une loanière continue de zéro à l'infiiii, cette ellipse engendrera le parabololde. Le rapport des axes de l'etlipse génératrice est constant et

égalai

: ces axes varient l'un et l'autre de zéro à l'infini.

n s'ensuit que le paraboloïde elliptique est une surface formée d'une ui^pe qui s'étend à l'infini dans un sens seulement.

RemaTqv.K. Si l'on sp^p', l'ellipse génératrice se réduit à un cercle, et le paraboloïde est de révolution.

546. Paraboloïde hiperbolique. Les coefficients P' et Q étant positifs , si P" est négatif, la surface que représente l'équation (I) est dite un Paraboloïde hyperbolique. Cette surface, comme la précédente, ne coupe les axes qu'à l'orîty gine des coordonnées. Les Ç // /i,. plans xs et xy sont des plans I /o"~~v principaux; l'axe des» est dit ~ l'axe du paraboloïde. Les deux

plans principaux coupent la

surface suivant deux parabo-

les AOA', BOB' (fig. 16b), dites

sections principales et qui ont

pour équations :

S' = 2px,

En faisait — = 2p, p7,= — 2/>', l'équation du paraboloïde peut s'écrire ainsi :

Le paraboloïde hyperbolique est susceptible d'une génération analogue à celle des autres surfaces du second degré; seulement ici la génératrice, au lieu d'être une ellipse, est nne hyperbole; en effet, si l'on coupe la surface par un plan parallèle au plan yz, Tintersection est représentée par deux équations de la forme :

Cette courbe est une hyperbole dont les axes sont \/±2pPet \l± ^p'x\ Cette hyperbole est toujours réelle; Taxe imaginaire et l'axe réd se changent l'un dans l'autre, quand x' passe du positif au négatif; elle se réduit à deux droites, dans le cas intermédiaire de â?' =0. On voit que, si X* varie d'une manière continue de— oo à + oo , l'hyperbole mobile engendrera la surface qui s'étend à Tinfini dans tous les sens.

547. Les deux paraboloïdes sont susceptibles d'une génération conmiune; on a en effet ce théorème:

Étant données deux par aboies y dont les plans sontperpen^ diculairesy dont les sommets coïncident et dont les axes sont pUtcés sur la même ligne droite, si Vune des deux paraboles se meut de manière que son axe et son plan restent parallèles à eux-'^mêm^es y que son sommet soit constamment sur Vautre parabole f la surface engendrée sera un paraboloïde. Le parch

boloïde sera elliptique, si l'axe de la parabole mobile est dirigé dans le même sens que cdui de la parabole fixe; il sera hyperbolique , dans le cas contraire.

En effet, soient

« = 0, y* = 2par,

les équations de la parabole fixe, AOÂ' (fig. 164 et i65),

celles de la parabole mobile BOB', lorsque celle-ci est dans le

plan xz y pour un point quelconque D de la parabole fixe ,

on a :

x=.x^y y=](j «=0, et

y* = ^pod.

Lorsque la parabole mobile a pour sommet le point D^ ses équations sont évidemment

et on aura l'équation de la surface engendrée^ en éliminant x\ y' entre les trois équations précédentes; il vient ainsi :

348. Cylindre parabolique. Un seul cas reste à examiner, celui où l'un des coefficients F ou P'^ est nul dans l'équation

Py+FV = Qir,

Supposons, par exemple, V"= 0 ; l'équation se réduit à (4) Py = Qx.

SUHFÂGESJDtJ SECOND DËGBÉ. m

Elle représente un cylindre dont les génératrices sont parallèles à Taxe des z et dont la trace sur le plan anf est une parabole; la surface que nous considérons est donc un 6^lindre parabolique.

Remarque. SironaF=:ï0, P"=0; Téquation de la surface se réduit à a;=0 et représente le plan yz; elle n'appartient plus proprement au second degré.

Résumé.

349« En résumé les surfaces ^ contenues dans Féquation du second degré, sont les suivantes :

io Surfaces qui ont un centre unique : L'Ellipsoïde (il peut être imaginaire ou se réduire à un point); l'Hyperboloïde à une nappe; l'Hyperboloïde à deux nappes; les Cônes du second degré (ils forment une variété de Thyperboloïde à une ou k deux nappes) ;

^ Surfaces qui ont une infinité de centres en ligne droite. Le Cylindre elliptique (pouvant se réduire à une simple droite); le Cylindre hyperbolique (pouvant se réduire au système de deux plans qui se coupent) ;

3"* Surfaces qui ont une infinité de centres dans un biêmb PLAN. Système de deux Plans parallèles (pouvant se réduire à un seul ) ;

4® Surfaces dénuées de centre. Le Paraboloïde elliptique; le Paraboloïde hyperbolique; le Cylindre parabolique.

natur b des sections planes des surfaces du second degré.

350. Toute section plane d'une surface du second degré est , comme on Ta vu (n° 297), une courbe du second degré. Il nous reste à examiner quel est le genre des courbes du se-

m GÉOMÉTRIE AfrALTTIQUE A TROIS DIMENSIONS.

Gond degré (|ue Ton obtient, en coupant par dés plans chacane des diverses surfaces 'étudiées précédemnient.

Jkemarquons d'abord que la projection orthogonale où d)lique d'une courbe du second degré sur un plan est une cOIdrbé du second degré de même espèce. En d^autres termes^ si la section d'un cylindre par un plan, ton parallèle aux arêtes, est une courbe du second degré C ; toute antre section ^ non parallèle aux arêtes, sera une courbe du second degré de même espèce. En effet , si Ton prend pour plan xy le plan de la courbe C et pour axe des z^ une droite parallèle aux géoé^ ratrices du cylindre , il est évident que Téquation de ce cy-, Undre sera du second degré entre les deux seules variables x, y 'y car cette équation est la même que celle de la courbe G dans le plan xy. Le cylindre que nous considérons étant une surface du second degré, toute section G' non parallèle aux arêtes sera une courbe du second degré. En outre, si la courbe G est fermée , il est évident que la courbe G' sera aussi fermée; si au contraire la courbe G a deux ou qua^ branches infinies , la courbe G' aura également deux ou quatre branches infinies. Il s'ensuit que les courbes G et C sont de même espèce.

On voit par là que, pour connaître la nature d'une courbe du second degré dans l'espace , il suffit de savoir quelle est la nature de sa projection sur Tun des trois plans coordonnés.

351. Gela posé, nous allons étudier successivement les sections planes des surfaces à centre et celles des deux paraboloïdes, le cas des cylindres pouvant être mis de côté d'après ce qui précède.

Ellipsoïde. Prenons Téquationde l'ellipsoïde sous la forme :

M) f! + î!! + fl=;l

SURFAGIS DU SfiGGND DEGKÉ. Ma

et eoupons la suiHIàce par le plan

Si Ton élimine z entre }^s équations (i) et {^), il vient

Désignons par D la différence entre le carré de la nioitié du coefficient du rectangle xy et le produit des coefficients de a?* et de y*, on aura :

"" a«6* 6V aV

On voit que la quantité D est constamment négative; par conséquent Féquation (3) représente une ellipse. Il s'ensuit que toutes les sections planes de Tellipsoïde sont des ellipses.

Htperboloide a une nappe. On passe de Tellipsoïde à ThyperiKlloïde à une nappe, en changeant^ dans ce qui précède^ c* en — c*. Ainsi l'intersection de Thyperboloïde

et du plan

z=:mœ+ny-\-k,

sera une ellipse, une parabole ou une hyberbole, suivant que la quantité D sera négative^ nulle ou positive. Cette quantité a ici pour valeur :

n- Lm — mUL

On peut évidemment choisir les quantités m et n, de manière

que D soH négatif ^ nul ou positif. Il s'ensuit qu'on peut obtenir toutes les courbes du second degrés en coupant un hyperboloïde à une nappe par des plans.

Htperboloïdb a deux nappes. On passe du cas qui précède à

celui de Thyperboloïde à deux nappes^ en cbangeant partout

i* en — 6*. L'équation de la surface est :

La nature de son intersection par le plan

dépendra du signe de la quantité D, qui a ici pour valeur :

Cette quantité peut être négative^ nulle ou positive; d'où il suit que l'hyperboloïde à deux nappes donné pour sections toutes les courbes du second degré.

Paraboloïde elliptique. L'équation du paraboloïde elliptique est:

La projection sur le plan xy de l'intersection de cette surface par le plan

z = mx -{-ny-^k

a pour équation :

i* , , ^mn , /i . w*\ , , -oc*^--r0^y+(- + -,)f + =0.

La quantité D a pour valeur :

par suite elle ne pourra être que négative ou nulle; il s'ensuit que les sections planes du paraboloïde elliptique sont des ellipses^ sauf celles qui sont parallèles à Taxe et qui sont des paraboles.

Paraboloïde htberbolique. On passe du paraboloïde elliptique au paraboloïde hyperbolique, en changeant p' en — p\ On peut donc conclure de ce qui précède que toutes les sections planes du paraboloïde hyperbolique appartiennent au genre hyperbole, à l'exception des sectioas parallèles à l'axe, lesquelles sont des paraboles.

CÔNE ASYMPTOTE d'uN HTPBRBOLOÏDE.

3S2. On nomme Cône asymptote d'un hyperboloïde à une ou à deux nappes^ le lieu des asymptotes de toutes les hyperboles que Ton obtient en coupant Thyperboloïde par des plans passant par son centre.

Proposons-nous de former^ d'après cette définition, Téquation du cône asymptote de Thyperboloïde

(1) Pir«+Fy«+P'V = H5

si Ton coupe la surface par le plan

(2) z:=:mx-\'nijy

la projection de l'intersection sur le plan œy aura pour équation:

Vx^ 4- ^V + P" {fnx 4- ny)« = H;

supposons que cette courbe soit une hyperjboley 1^8 prQJtC* tions des asymptotes seront évidemment représentées par l'équation

?x* + Py + F' (ma? + nyY = 0.

Or ces asymptotes sont dans le plan {% donc elles sont aussi sur le cône

Pir« + P'î/« + PVs=0,

qui est^ par suite , le côiie asymptote.

Et généralement^ si un hyperboloïde est rapporté à trois axes quelconques passant par son centre^ de manière que Téquation de la surface ait la forme :

réquation du cane asymptote sera :

Aa?«+ Ay + AV + Wyz+^Vxz+^W'xy=0.

Il suffit; pour le démontrer, de répéter textuellement le raisonnement que nous venons de faire.

555. Il est facile de démontrer que les points de Thyperboloïde «^approchent indéfiniment du cône asymptote ^ à mesure qu'ils s'éloignent à Tinfini. Nous entendons que les distances des points de Thype^boloïde au cône asymptote sont comptées suivant des droites parallèles à Tun des axes des coordonnées. Supposons l'équation dç l'hyperboloïde r^imen^ à la forme:

Paî«+Fy« + PV = H; réquation du cône asymptote sera :

p^'+py+pv=o.

Soient (Xyy, z) , {x, y, zj deux points appartenant Tun à rhyperboloïde, Tautre au cône ^isymptote, on aura ;

Pic* + Py + P'V = 0; retranchant il vient :

' r(z+zy

Si â? et y deviennent infinies^ z et z^ seront aussi infinies;, on peut d'ailleurs les supposer de même signe ^ d^où il suit que z — z^^ tend vers zéro. Cela prouve que la surface du cône s'approche indéfiniment de la surface de l'hyperboloïde.

354. Si ron coupe par un plan un hyperboloïde^ et son cône asymptote ^ on obtient deux courbes de même genrci .

En efiet , soient

P-r«4-py + PV = H, Pa;« + Py+PV = 0,

les équations d'un hyperboloïde et du cône asymptote. Si Ton coupe ces surfaces par le plan

z = mx + ny + fc ,

les équations des projections sur le plan xy des deux courbes obtenues ne différeront que par les termes du premier degré et par le terme indépendant des variables. Il s'ensuit évidemment que ces courbes sont de même genre. On peut même ajouter qu'elles sont semblables y si Ton se reporte aux .consî-

dérations que nous avons développées dans V appendice ïh géométrie analytique à deux dimensions.

SBCTIOIIS RSCTnjGNBS DS L'HTPRRBOLOÏDB A UNE NAPPE. — ON PEUT, SUR LA SURPACR DB l'hTPBRPOLOÏDB A UNE NAPPE , TRACER DBUX DROITES PAR CHACUN DE SES POINTS; d'oU RÉSULTENT DEUX Sl^ TàMES DE GÉNiRATRlCES RECTILIGNES DE l'hTPERBOLOÏDE. — DEUX DROITES PRISES DANS UN idME STSTÎME NE SE RENCONTRENT PAS ^ ET DEUX DROITES DE SYSTEMES DIFFÉRENTS SE RENCONTRENT TOU- JOURS. — TOUTES LES DROITES SITUEES SUR l'hTPERBOLOÏDB ÉTAHT TRANSPORTÉES AU CENTRE^ PARALLÎELEIIENT A ELLES-lfftlfES^ S'AP- PLIQUENT EXACTEMENT SUR LE CÔNE ASYMPTOTE. TROIS DROITES

d'un même SYSTEME NE SONT JAMAIS PARALLELES A UN MÂME PLAN.

— l'hypbrboloïde a une nappe peut-être engendré par ,UNE droite qui se meut en s*appuyant sur trois droites fixes, non

PARALLÈLES A UN MÂME PLAN; ET, RÉCIPROQUEMENT^ LORSQU'UNE LIGNE DROITE GUSSE SUR TROIS DROITES FIXES , NON PARALLÈLES A UN MÊME PLAN, ELLE ENGENDRE UN HTPBRDOLOtDB ▲ UNE NAPPE.

3ff5. Soit:

l'équation d'un hyperboloïde à une nappe ; on peut récrire comme il suit :

On voit que cette équation peut s'obtenir par l'élimination de

riodéterminée X entre les deux équations :

l+f=K'+0' |-hr(*-ï)'

OU , par l'élimination de \t. entre les deux équations :

En considérant X et (& comme des paramètres variables , les équations (2) et (3) représenteront deux systèmes de droites qui seront toutes situées sur Thyperboloïde.

5^6. Veux droites éCun même sysitème ne sont pas datas un ;^ même plan.

Soient :

les équations d'une droite du système (X). i9i Tbn ajoiAe ces équations^ après avoir multiplié Tune d'elles par une indéterminée m, on aura l'équation générale des plans qui passent par la drdte que nous considérons, savoir:

Si Ton élimine y eXz entre cette équation et les équations

d'une seconde droite appartenant au système (X), il viendra : ,V X,(,+î)+„(i,^)(,î).= 0;

442 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE ▲ TROIS DIliENSIONS.

pour que lâ droite ^it tqut entière contenue dans le plan, il faut que la précédente équation soit identique quel que soit j?, en particulier pour a? = a; ce qui donne X' = X. Cela prouve que les deux droites (X) et (X') ne peuvent être dans un même plan.

On démontrerait de la même manière (pie deux droites du système (fx) ne sont jamais dans un même plan.

Deux droites de systèmes différents sont toujours dans un même plan.

En etkt, soient les deux droites ;

réquation généri^e des plans qui jpassent par la droite (X) est :

Si Ton élimine y et z entre cette équation et celle de la droite (fi.) , il vient :

or, pour rendre cette équation identique , il suffit de prendre m = X(x; d'où il suit que les deux droites que nous considérons sont dans un même plan.

.557. Par chaque point {x\y'yz') de Thyperboloïde, on peut tracer sur la surface une droite du système (X) et une

SURFACES pu SECOND DEGRÉ. 443

droite du système (îi)..En (?ffet, pui3C[u'on ^^ par hypothèse :

on pourra trouver une valeur de X et une valeur de [i, telles que Ton ait à la fois :

Les paramètres X et {i étant ainsi déterminés^ leà équations:

seront celles de deux droites situées sur la sur&ce et p^^s^t par le point [x\ xf, z').

5S8. Il est important d'établir que toute droite tracée sur rhyperboloïde appartient nécessairement à l'un des deux systèmes dont nous venons de constater l'existence. Supposons en effet qu^une droite AB située sur la surface n'appartienne ni au système (X) ni au système (;a). Par un point A de AB, menons une droite AL du système (X); puis, par chacun des points de AB, menons une droite du système (ji.); chacune de ces droites rencontrera AL et, par suite, elles seront toutçs dans un même plan, ce que nous avons démontré être impossible.

é44 GËOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS.

359. Les deux systèmes de dr^âtes^ qu'<m pevt trm^ m rhyperboloïde

a' "^ 6* c* "" ' ont^ comme on vient de voir^ pour équations :

Si Ton transporte ces droite parallèlement à elles-mêmes au centre de la surface^ leurs équations devîeniient évidenoment:

6c a' h c.Xa*

yjs a? y z \ X

h c a h c [La

Éliminant X entre les deux premières ^ ou (a entre les deux dernières, il vient:

Il résulte de là que :

Toutes les droites situées sur Vhyperhol&ide^ étant transportées au centre parallèlement à elles-mimes, s'appliquent exactement sur le c&ne asymptote.

D'oq Ton peut conclure immédiatement que :

Trois droites situées sur Vhyperboloïde ne sont jamais parallèks d un même plan.

SURFACES DU SECœO) DEGRÉ. 44&

CîM*) autrement^ il y aurait trois^énératricesdu côneasymp- Ole dans un même plan.

Il est très-aisé de reconnaître y soit par le calcul , soit par des considérations géométriques fort simples^ que les projections des droites (X) et (fi) sur les plans coordonnés sont tangentes aux sections principales.

360. Si, par Tune des droites qu'on peut tracer sur Thyperboloïde^ on fait passer un plan, ce plan coupera la surface suivant une seconde droite y puisque les sections planes des surfaces du second degré sont des courbes du second degré. Les sections ainsi obtenues sont dites sections rectilignes.

Les mêmes droites prennent aussi le nom de générairiees recHlignes y parce qu'elles peuvent être considérées comme étant les diverses positions d'une droite mobile^ qui dans son mouvement , engendre la surface. En effet , soient L^ U, V trois génératrices du système (X) ; par chaque point de L on peut mener une droite M du système ({x) ^ laquelle rencontrera les droites U et \J'. Le mouvement de la droite M est déterminé par la condition qu'elle rencontre les droites L., \!y U\ et il est clair que^ dans ce mouvement^ cette droite mobile engendrera la sur&ce.

361 . Nous allons démontrer que réciproquement : Lorsqu'une droite glisse sur trois droites fixes , non situées

deux d deux dans un même plan et non parallèles d un même plan, elle engendre un hyperbol&ide.

Soient A ^ B^ C les trois droites données (fig. 166) ; menons par chacune d'elles deux plans respectivement parallèles aux deux autres; ces six plans détermineront un parallélipipède dont nous prendrons le centre 0 pour origine des coordonnées; quant aux directions Ox^ Oy , Oz des trois axes^ nous les choisirons parallèles aux droites A^ B, G respectivement. Cela posé, en désignant par Sa, ^, S^ les longueurs des

Ue CtfOMËTRiÉ ANALYTlÔtlG À TROtiS Dllf ËNSIONS.

arêtes du pàràlléliiûpède , les équatibns des droites données seront :

Soient:

flg. 166.

(1) œ = mz+p, (2) y = nz^q^

les équations d'une droite G qui rencontre A , B , C. Les conditions, pour qu'il y ait rencontre , sont :

a= — mc-\'Py

On aura évidemment T équation de la surfade engendrée par la droite 6, en éliminant m^fiyp/q entre le^ chiq équations (1), (2), (3), (4), (5)5 rélîmination de p ét^ donne d'abord :

SURFACES Dl) SECOND DEGRÉ. 447

enfin ^ éliminant m et n entre ces trois dernières équations ^ il vient:

(a: + a)(y + 6)(;5 + c) — (a?— a)(i/ — 6)(;5— c) = 0. ou

aj/^ + hxz + cary -f- ahc = 0.

Cette équation est du second degré ef elle a un centre unique; c'est donc un hyperboloïde à une nappe, car il est évident que PeUîpsoïde et Thyperboloïde à deux napbes ne peuvent pas admettre de génératrices rectiligues.

362. Il est bon de remarquer le cas particulier de l'hyperboloïde de révolution à une nappe; cette surface peut évidemment être engendrée, en faisant tourner autour de Taxe de révolution l'une quelconque des droites contenues dans la surface. Ici -l'ellipse de gorge se réduit à un cercle et le cône asymptote est un cône droit.

Il est aisé de démontrer que : réciproquement, %i une droite tourne autour d'un axe fixe non situé avec elle dans un même plan, cette droite mobile engendrera un hyperboloïde de révolution à une nappe.

En effet, prenons pour axe des z Taxe de la surface, pour axes des x et des y deux droities rectangulaires, situées dans le, plan que décrit la plu3 courte, distance de la génératrice à Taxe. Soient MP Tune des génératrices et M le point où cette génératrice rencontre le pian xy. Désignons par r la longueur domiée OIMt qui est la plus courte distance de la génératrice à l'axe; par (o Tangle variable MOa?; enfin, par a, 6, y les angles formés par la génératrice avec les axes; l'angle y est constant, les angles a et t sont variables.

kïH GÉOMÊTRIB ANALYTIQUE A TROIS DttlENSl(»<S.

Les coordonnées du point M sont :

â;:=rcosco ,y = rsinco ,x = 0;

par suite les équations de la droite MP sont :

X — rcosu) y — rsinw z

cos« cos6 cosY*

Celaposéy on a :

cos* a 4- cos*6 + cos* Y = i ;

en outre^ la droite MP étant perpendiculaire sur OM , qui fait avec les axes des angles dont les cosinus sont cosco^ siao» et zéro, on a :

cosa cos CD -f cos6 sincD = 0 ^ ou

cosa cos 6 v/cos* a -|- cos*6

sinu) coso» i

smY;

par suite ,

cosa = ± sin Y sinciv, cos6 = qp sin y cosca.

Les équations de la génératrice deviennent alors :

œ = ±z tangY sinco -f- r cosco, y = qzz tangY costo + r sînw;

elles ne renferment plus que le seul paramètre variable co. On élimine co entre ces équations, en les élevant au carré et ajoutant ensuite ; il vient ainsi :

^* + y* — «* tang* Y = »"%

équation qui est celle d'un hyperboloïde à une nappe^ dont les

axes réels sont égaux à 2r et dont Taxe imaginaire est .

tangY

SECTIONS REGTIUGNES DU PARABOLOIDE BYBERBOLIQUE. — ON PEUT, SUR LÀ SURFACE DU PARABOLOIDE HYPERBOUQUE^ TRACER DEUX DROITES PAR CHACUN DE SES POINTS; d'oU RESULTE LA ciNERA-