Soit

(i) Aa;«+Ay+AV+2B2/x+2B'xz+2B"ici/ +2(lr+2C'y+2C"^+K=0,

Inéquation d'une surface dénuée de centre, que nous supposerons rapportée à trois axes rectangulaires.

Nous savons que tous les plans diamétraux sont parallèles à une même droite ou sont parallèles entre eux, et ce dernier cas est évidemment compris dans le premier. Or, si Ton a choisi pour axe des x la direction de la dmite à laquelle sont parallèles les plans diamétraux de la surface que nous considérons, l'équation de celle-ci ne contiendra ni le carré a:', ni les rectangles ocy et xz. En effet , si Ton égale à zéro les dérivées du premier membre de l'équation proposée par rapport àâ;, yetx, il vient:

4f8 GÊOMÉTRIB ÂNALYTIQUS A TftOig DIMENSIONS.

iA^+B'*+B''y+C=0,

068 équatioBs (2) représentent trois plans parallèles à V ai^e ie& «I ce qui exige que Ton ait :

On peut donc ainsi ramener Téquation 4e la surface proposée à la forme :

(3) Ay+AV+ffîyjr + 2GiJ+2C'y + 2Grar+K=0.

On peut en second lieu faire disparaître le dernier rectangle yx, en déplaçant les axes des y et des js dans leur plan y sans altérer leur perpendicularité. Par cette transformation^ Téquation de la surface prendra la forme :

(4) Ay + AV4-2O+2C'»+2C"j5+K=0.

Enfin ^ si Ton transporte les axes parallèlement à euxmêmes en un point convenablement choisi^ transformation qui n'offre aucune difficulté , on fera disparaître les termes du , premier degré en y et r avec le terme indépendant des variables. Notre équation se réduira donc en définitive à la forme :

Cette équation y où x, y^, z désignent des coordonnées rectangulaires^ comprend toutes les surfaces dénuées de centre. 332. Il existe une infinité de systèmes d'axes obliques^

pour lesquels fonne:

PV«+F';5^=Qx.

Efiéctivi^QdeDt ^ si Von prend l'axe des x parallèle aux plans diamétraux , (Juela que soient les deux autres axes^ Téquation de la surface ne coQtiendra pas les termes east^, en ocy et eu XX ^ on pourra ensuite^ comme dans le cas des axes rectangulaires, faire disparaître le rectangle yx en déplaçant convenablement les axes des y et des z dans leur plan; enfin ^ par une translation de ces nouveaux axes, on pourra faire évanouir les termes du premier degré en y et j^ avec le terme indépendant ^ ce qui démontre la proposition énoncée.

SQDATIONS LES PLUS SIMPLES DE l'eLLIPSOÏDE , DES HYPERBOLOÏOES A UNE ET À DEUX NAPPES, DES PARABOLOÏDES ELLIPTIQUE ET HYPER- BOLIQUE, DES CÔNES ET DES CYLINDRES DU SECOND DEGRE.

Discussion des surfaces à centre.

333. Les surfaces à centre sont toutes comprises, comme <m l'a vu , dans l'équation :

oh Xjy^ z désignent des coordonnées rectangulaires. Elles forment plusieurs genres distincts que nou^ allons examiner. Nous supposerons d'abord qu'aucun des coefficients P, P', P'' 6l H ne soit égal à zéro; et nous supposerons en outre H positif, ce qui est permis puisqu'on peut changer les signes de tous les termes de l'équation^