Soit
l'équation d'un parabololde hyperbolique; on peut l'écrire comme il suit :
\^P sIp'J W v9/
on voit alors qu'elle peut s'obtenir par Télimination de l'indéterminée X entre les deux équations :
4to GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS.
OU par l'élimination de (a entre les deux équations :
SP VP' VP VP' »*
En considérant X et (& comme deux paramètres variables, les équations (2) et (3) représenteront deux systèmes de droites qui seront toutes situées sur le paraboloïde.
364. Dmx droites d'un mime sf/stème ne sont pas dans un mêifiu plan.
Soient :
les équations d'une droite du système (X). L'équation générale des plans qui passent par cette droite sera :
Si Von élimine y et ;: entre cette équation et les équations : y j5 ., y z i
-7::+— P 2AX, •— -pZ y,
VP VP' VP VP
d'une seconde droite appartenant au système (X) , il viendra :
pour que la droite soit tout entière contenue dans le plan^ il faut que la précédente équation ait lieu quel que soit x^ cela exige que Ton ait X' =X. Il s'ensuit que deux droites du système (X) ne sont pas dans un même plan.
On démontrerait de la même manière que deux droites du. système ((t) ne sont jamais dans un même plan et y par suite ^ qu'elles ne peuvent jamais se rencontrer.
Deux droUes de systèmes différents sont toujours dans un même plan.
En effet , soient les deux droites :
Uéquation générale des plans qui passent par la droite
(X) est :
Si Pon élimine y et i éntl@ cette éqiiatioh et celle dé là droite ((n) , il vient :
or, pour que cette équation soit identique^ il sufSt de prendre m=X[i^ d'où il suit que les deux droites que nous considérons sont dans un même plan.
365,. Par chaque foint (afy^^xf) d» parciboUMe on peut tracer une droite du système (X] et une droite du système [\t). En effet , puisqu'on a^ par hypothèse :
on pourra trouver une valeur de X et une valeur de fi teUes que Ton ait :
yfp \Ip' Vp s/F ^
»; £__^ y^ fl = ?£
Les paramètres X et> étant ainsi déterminés, les équations
J iJ__^ J i-=?î
seront celles de deux droites tracées sur la surface et passant par le point (af, y', «').
Toute droite tracée sur le paraboloïde appartient nécessairement à Tun des deux systèmes dont nous venons de constater Texistence; on s'en assure en répétant textuellement te raisonnement que nous avons Eût au sujet de l'hyperboloïde (n'» 358).
