Les droites^ que l'on peut tracer sur le paraboloïde

forment ainsi deux systèmes; celles de l'un des systèmes sont évidenunent parallèles au plan

VP \p'

et celles de l'autre système au plan

Soient L, U, V trois droites appartenant au même système; toutes les génératriœs de l'autre système les rencontreront. Or^ si une droite mobile est assujettie à rencoi\trer trois droites fixes ^ le mouvement de cette droite est déterminé 'y d'où il suit que le paraboloïde hyperbolique peut être engendré par une droite qui se meut en s'appuyant sur trois droites données parallèles à un même plan.

Si au lieu de trois droites appartenant au même système^ on en considère deux seulement L et Vy les droites dii second système qui les rencontrent toutes deux sont en outre parallèles à un plan fixe. Or le mouvement d'une droite est déterminé par la condition que cette droite rencontre deux droites fixes et reste parallèle à im plan fixe. Donc le paraboloïde hyperbolique pçut être engendré par une droite mobile qui s'appuie, sur deux droites fixes et reste parallèle h- un plan fixe.

Le plan fixe est appelé plan directeur^ les droites fixes dtrectrices et les droites mobiles génératrices. Aussi emploie-ton la dénomination de génératrices redilignes pour désigner les droites qu'on peut tracer sur la surface du paraboloïde hyperbolique. On leur donne aussi le nom de sections reetilignes y parce que deux droites appartenant à deux systèmes différents constituent la section du paraboloïde par un plan.

367. Nous allons démontrer les i^édproques des propositions que nous venons d'établir»

Lorsqu'une droite glisse sur irak drùU$$ fixes y parallèles 4 un même plan y elle engendre un pnttitelof «Te hyperboliqt^.

Soient Ox^ AB et CD (fig. 167) les trois droites données

parallèles à un même' plan; nous prendrons pour axe des x une droite qui rencontre les trois droites données^ pour axe des X l'une de ces droitesi Ox par exemple, et pour axe des y une droite Oy parallèle | Tune des deux autres droites y données AB lia droite ci) sera.

9i. 197. par hypothèse , parallèle au

plan xy; les équiations des droites données ^rqnt :

wii::*; h:'1: '«"(i:r

Soient ai outre:

les équations d'une droite G qui s'appuie sur les trois droites âonîi^. Led cdùditions pour qull y mt rencontre sont :

jf = 0, mfc+p=0, a(mt+p)=nt+ç.

Si Vcm élimine m^ n, p, q entre ces équations et celles de la génératrice^' on dbtieitdrâ l'équation de la surface engen- (frée, savoir: * '

kyaf — a{Jk'^h)xZ'^khy=iO.

Cette équation est du second degré y et on voit immédiatement que la surface qu'elle représente n'a pas de centre; il s'ensuit que cette surfece est un paraboloïde hyperbolique.

Effectivement il est clair qu'on ne peut tracer aucune d?oi|e sur le paraboloïde elliptique 5 et d'ailleurs toutes les droites tracées sur le cylindre parabolique sont pm*allèles.

368. Lorsqu'une droite glisse sur deux droites fixes et reste parallèle d un plan fixe, elle engendre un parabol&ide hyperbolique.

Soient AP et BQ les deux droites données (fig. 168). Nous

prendrons pour plan xf un plan parallèle au plan directeur donné ; plour axe des y la droite qui joint les points 4'interseo* tion P et Q de ce plan avec les droites données; ppur origine le milieu 0 dePQ; pour plan xz le plan mené flg. 168. par 0 parallèlement aux

deux droites données^ ce qui détermine Taxe des x; enfin menant OÀ' et OB' parallèles respectivement aux droites données AP et BQ , puis coupant ces parallèles aux points R et H par une droite RH parallèle à Ox^ nous prendrons pour axe des z la droite 01 qui passe par le milieu de RQ. CSela posé , les équations des droites données seront:

(AP)jî' = *^ (BQ) (»=-*' > ^ }x=azy ^^' \x=—az.

La génératrice étant parallèle au plan xy, ses équatfQOs seront:

zszk, yzszmx+n,

pour que cette droite rencontre les deux droites données, \\

faut que ron ait

d'où

n=.Oy h=:màk.

Éliminant m,neik entre ces deux équations et celles de la génératrice^ il vient pour Féquation de la surface :

Cette équation est celle d'une surface du second degré dénuée de centre et qui ne peut être qu'un paraboloïde hyperbolique.

Questions à résoudre.

I. Reprendre l'étude des plans principaux d!après les équations réduites. Les sur&ces à centre n'ont que trois plans principaux. Le cas des surfaces de révolution fait seul exception. Les deux paraboloïdes n'ont que deux plans principaux; il n'y a exception que pour le paraboloïde elliptique de révolution. Enfin le cylindre parabolique n'a qu'un seul plan principal.

II. Si Ton fait passer deux surfaces du second degré par une même courbe du second degrés ces deux surfaces se coupent suivant une seconde courbe qui est plane et qui est du second degré.

in. Étant donnée une surface du second degré à centre, si on la coupe par une sphère concentrique, on peut choisir le rayon de la sphère de manière que les points d'intersection soient placés sur deux plans. Il en résulte que cette intersection est composée dé deux c^x^les réels ou imaginaires. Déduire de là que les surfaces à centre admettent deux systèmes de sections cÙY^ulsûres.

ly. Montrer qu'on peut considérer le paraboloïde elliptique' conmie la limite d'une série d'ellipsoïdes.

Trouver, par cette considération, les deux systèmes de sections circulaû*es qu'admet le paraboloïde elliptique.

V. Trouver le lieu géométrique des sommets des angles trièdres-trirectangles circonscrits à une surface du second degré.

VI. Trouver l'équation du plan tangent en un point donné d'une surface du second degré.

Yn. Trouver l'équation générale des plans tangents à une surface du second degré ^ menés par un point extérieur. Démontrer que ces plans sont tangents à la surface d'un cône qui a pour sommet le point extérieur et qui touche la surface suivant une courbe plane.

Vni. Démontrer que les trois équations

oc* y' , z*

représentent un système triple de surfaces orthogonales. 6 et c

sont des constantes données; p^ (a, v des paramètres variables; on suppose 5<c<p;5<jji<c; v<ft<c. La première équation représente des ellipsoïdes^ la deuxième des hyperboloïdes à une nappe et la troisième des hyperboloîdes à deux nappes. Ces surfiu^ sont dites homo focales, parce que leurs sections principales on^ mêmes foyers.

IX. Les mêmes choses étant posées que dans la question précédente , on propose d'exprimer les coordonnées x, y ,% en fonction des paramètres p > (a, v.