SURFACES CYLINDRIQUES

376. On nomme généralement Cône ou surface conique la surface engendrée par une droite qui passe constamment par un point donné et qui s'appuie sur une ligne donnée. Le point donné est le sommet du cône, la ligne donnée est dite directrice et la droite mobile est la génératrice,

377. Proposons-nous de trouver Téquation d'un cône dont on donne le sommet et la directrice. Soient x*y y\ z* les coordonnées du sommet^ relatives àtroisaxes rectilignesqudconques et

(1) f{oo,y,z)=0, F(x,y,z)=^0,

les équations qui représentent la directrice. Les équations de la génératrice auront la forme :

Pour que cette droite rencontre effectivement la directrice , il faut que les équations (1) et (2) aient une solution commune,

c'est-à-dire que l'équation^ résultant de l'élimination de x, y^ x entre (1) et (2) , ait lieu identiquement. Représentons par

cette équation de condition. Il est évident qu'on aura l'équation du cône demandée^ en éliminant a et b entre les équations (2) et (3). Cette équation est donc

ià\ (x—x' y— y' \^

Réciproquement Téquation (4), où cp désigne une fonction quelconque, est celle d'une surface conique dont le sooHnet a pour coordonnées x', y', z'-, en effet, il est évident que k droite (2) est tout entière sur la surface représentée par l'équation (4), pûoiPvuque a et b satisfassent à Féquation (3); d'ailleurs cette droite pisse constamment par le point (x'^y^^i^)* donc elle engendre un cône qui a ce point pour sommet.

Remarque, Si le sommet du cône est pris pour origine des coordonnées, l'équation de la surface se réduit à la forme:

il- !)=»^

C'est la forme générale dos équations homogènes. Il suit de là que : Toute équation homogène entre x, y et z représente un cône ayant l'origine pour sommet; et réciproquement.

378. Pour faire une application de ce qui précède, proposons-nous de chercher l'équation générale, en coordonnées rectangulaires, des cônes obliques à base circulaire.

La directrice est ici un cercle; ce cercle sera déterminé si

Ton donne : 1° les coordonnées x^^y^^ z^de son centre, 2° le rayon r, 3° les angles a, 6, -y que forme Taxe du cercle avec les axes des coordonnées. Nous prendrons pour les équations du cercle en question: d® celle de son plan, 2° celle d'Mue sphère ayant même centre et même rayon que lui. Ces équar tions seront évidemment

Les coordonnées du sommet étant x', y\ z'y les équations de ]a génératrice sont

(2) x — x' = a {z—z'), y-^i/^zb (z—z').

La première équation (1) et les équations (2) donnent :

, oH

X — ' Xm — X Xm j 7 ~ ^ . y

^ * acosa + tcoso+cosY

OCOSa + ftcOSê-f-COSY^

^ acosa-f-6cos6-|-cosY' en faisant, pour abréger,

H= (x' —x^) cosa 4- {y'—y^) cosê + (z'—z^) COSf ;

portant maintenant ces valeurs de x — x^, y — y^, z — z^ dans la seconde des équations (1), il vient :

^a(po'-x,) + b{y'-y,) + (z'-z,)

a cosa -|- 6 cosS -|- cosY (a« + 6« + 1) H'

(a cosa -f- b cosê -f- cosy)^

47tt GËONËTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS.

On aura l'équation générale des cônes obliques à base circulaire^ en remplaçant dans celle-ci a et 6 respectivement par

378. On nomme Cylindre ou mrfaee cylindrique la sorfiuse engendrée par une droite^ qui reste constamment parallèle à elle-même et qui s'appuie sur une ligne donnée. LaUgne donnée est dite dùreeirice^ la droite mobile est la générairim.

380. Proposons-nous de trouver Téquation d'un cylindre, connaissant la directrice et la direction de la génératrice. Soient:

les équations de la directrice^

x=^axj yzmbZy

celles d'une droite donnée à laquelle la génératrice doit rester parallèle. Les équations de cette génératrice seront :

(2) x=az+py y = 6z + 9;

si Ton élimine x,y,z entre les équations (1) et les équations (2); on obtiendra la condition

qui exprime que la droite (â) rencontre effectivement la ligne (1); éliminant ensuite p et q entre les équations (i) et (3), réquation résultante, savoir :

(A) ^(x—az, y^bz) = 0,

sera l'équation du cylindi'e.

Réciproquement^ quelle que soit la fonction <p^ l'équation (4) représente un cylindre^ dont les arêtes sont parallèles à la droite

x=zazy y=bz;

en effet la droite y représentée par les équations (2) , sera évidemment tout entière sur la surface (4), pourvu quep et q satisfassent à réquation (3).

381. Pour faire une application de ce qui précède, proposons-nous de trouver l'équation d'un cylindre oblique h base circulaire. Prenons pour origine le centre du cercle qui sert de base au cylindre , pour axe des z une parallèle aux génératrices^ pour axe des x Tintersection du plan du cercle avec le plan mené par l'origine perpendiculairement à Taxe des z^ enfin pour axe des y une droite perpendiculaire aux deux autres axes. Cela posé , désignons par r le rayon du cercle et par y Tangle que &it son plan avec le plan xy. Les équations du cercle seront :

(1) js=ytangY, x* + y^+z^ = r^;

les équations de la génératrice seront :

Pour avoir l'équation du cylindre , il faudrait éliminer x^ y et z entre les équations (i) et (2) , puis éliminer p et q entre la résultante et les mêmes équations (2) ; cela revient évidemment à éliminer la seule variable z entre les équations (1); il vient ainsi :

* cos*Y Le résultat auquel, nous venons de parvenir, prouve que, si

478 GÉOMSTRIE analytique A TROIS DIMENSIONS.

Ton projette un cercle de rayon r sur un plan qui tàsse avec le plan du cercle un angle f , on obtient une ellipse dont les axes sont 2r et 2r cos y ; résultat qu'il est bon de connaître.

Du Cône droit.

382. Le cône droit peut être considéré comme engendré par une droite qui tourne autour d'une droite fixe , en passant constamment par un même point de celle-ci. On peut ainsi trouver très-simplement Téquation générale des cônes droits. Supposons les axes des coordonnées rectangulaires; soient (x'f y'^z) le sommet; 6 l'angle du cône; «,6, y, les angles formés par l'axe avec les axes des coordonnées; «',€', y les angles formés par une génératrice avec les mêmes axes; les équations de cette génératrice seront :

cosa COSê COSY i i \9 9 j i \ I

On a d'ailleurs :

cos 0 = COS a COS a' -f- cos 6 cos 6' -j- COS Y cos y'.

Éliminant «'^ 6', y' ^^^^^ l^s équations précédentes y il vient :

sl[x—alf + [y-y'f + («- z'f cos 6 = {x-^ cos a + {y — y') cos 6-f [z — z ') cos y-

Telle est Téquation générale des cônes droits. Elle renferme six constantes ou paramètres indéterminés , savoir : x\ y\ z', ^ et deux des trois angles a, ê,Y.

Du Cylindre droit.

383. On peut aussi trouver très-simplement l'équation générale des cylindres droits. Soient :

les équations de l'axe ^ rapporté à des axes rectangulaires^ r le rayon du cylindre. Désignons par x^ y, z les coordonnées d'un point quelconque du cylindre ; comme la distance de ce point à l'axe est égale à r , on aura (n** 315) :

r*(a*+b*+i)={œ'-az—pY+{y—bz'-qY-\'{ay—bx+bp-'aqY;

telle est Téquation générale des cylindres droits. Elle renferme cinq constantes ou paramètres indéterminés ir^a^b, p, q.

EXERCICES

Questions à résoudre.

i"" Reconndtre si un cône^ donné par son équation^ est un cône droit j

2^* Trouver le lieu des sommets des cônes droits, qui passent par une conique donnée.