On peut construire aisément autant de points qu'on

veut d'une ellipse , quand on se donne les foyers ainsi que la

somme constante des distances de ces foyers à chaque point

de la courbe; nous désignerons par a la demi -somme de ces

distances , en sorte que 2a exprimera la somme entière.

Cherchons d'abord (fig. i) les points où Tellipse rencontre

la droite qui passe par les foyers F et F'. Soit 0 le milieu de

FF' et supposons que A soit un >^ point de Tellipse situé sur la \ droite FF' dans la direction de OF , A on aura

AF + AF' = 2a,

* flg. 1. mais on a AF = OA — OF , et

AF' = OA + OF' ou = OA + OF, car OF est égal à OF', donc 9

OA — 0F + 0A + 0F = 2o,

c'est-à-dire

20A = 2a et 0A = a.

On verrait de même que si A' est un point de Tellipse situé sur FF' dans la direction de OF', on a également

OA' = a.

U résulte de là que l'ellipse rencontre la droite FF' en deux points seulement, et que Ton obtiendra ces deux points A et A' en portant sur FF' à partir du milieu 0 deux longueurs OA et OA' égales à a.

Cela posé, comme la somme des distances des foyers à un même point de la courbe est égale à AA' , on voit que si Tune de ces distances est égale à AC, l'autre sera A'G. Si donc on prend un point C quelconque sur AA' entre F et F' , puis que l'on décrive , des foyers F et F comme centres, deux circonférences qui aient respectivement AC et A'G pour rayons, les points d'intersection M et M' appartiendront à l'ellipse. Les deux circonférences dont nous parlons se couperont toujours, car il est évident que la distance des centres FF' est

NOTIONS SUR QUELQUES COURBES USUELLES

moindre que la somme AA' des rayons et plus grande que la différence A'G — AG ou âOC de oes mêmes rayons.

En donnant au point G diverses positions sur FF', on pourra construire^ comme il vient d*étre indiqué , autant de points qu'on voudra de l'ellipse. Quand on connaîtra ainsi des points de cette courbe assez nombreux et assez rapprochés les uns des autres^ on les joindra par un trait continu^ et l'ellipse sera tracée par points»

n est important de remarquer les deux points que l'on obtient en plaçant le point G au milieu 0 de FF'; les deux circonférences qui les déterminent ont Tune et l'autre pour rayon a, et elles se coupent en deux points B et B' situés à égales distances du point 0 sur la perpendiculaire menée par ce point à la ligne FF'.

5. On peut aisément tracer rellipse par un mouvement continu. Si en effet , après avoir marqué les foyers F et F' (fig. 1}^ on prend un fil dont la longueur soit exactement égale k^a, que Ton fixe aux foyers les extrémités de ce fil et qu'on le tende par le moyen d'un style muni d'un crayon ou d'un tire-ligne ; en faisant mouvoir le style de A vers B, puis de B vers A% etc, , de manière que le fil soit toujours tendu^ Tellipse se trouvera décrite par le crayon ou le tire-ligne. C'est par un procédé du même genre que les jardiniers construisent sur le terrain leurs ovales de figure elliptique. Ils emploient à cet effet une corde dont les extrémités sont fixées au sol par le moyen de deux piquets.

On voit que Teilipse est une courbe continue et fermée.

4. On nomme axe d'une figure plane toute droite qui partage cette figure en deux parties sy métriques , c'est-à-dire, en deux parties dont l'une vienne coïncider exactement avec l'autre, lorsqu'on la fait tourner autour de l'axe ^ comme autour d'une cbarnière pour la rabattre sur l'autre partie.

Ainsi un rectangle a deux axes ; ce sont les droites qui joignent les milieux des côtés paraUèles ; un losange a aussi deux axea, qui sont sont ses diagonales ; un carré , qui est à la fois rectangle et losange, a par conséquent quatre axes. Le cercle et la ligne droite ont une infinité d'axes; car tout diamètre est un axe du cercle , toute perpendiculaire à une droite est un axe de cette droite.

5. Il est aisé de démontrer que l'ellipse a deux axes, qui sont la droite menée par les foyers et la perpendiculaire à cette ligne menée par le milieu de la distance des foyers.

Soient F et F' les foyers d'une ellipse (fig. 2), et BB'la perpendiculaire menée par le milieu 0 de FF'. Désignons par 2a, comme précédenmient, la somme des distances des foyers à un même point flg 2 ^® 1* courbe,

i"" M étant un point quelconque de la courbe, abaissons MP perpendiculaire sur FF' et prolongeons la d'une quantité M'P = MP, je dis que le point M' appartient à Tellipse. En effet MF et M T , MF' et M'F' sont par rapport à MM' des obliques qui s'écartent également du pied de la perpendiculaire FF'; elles sont donc égales; d'ailleurs la somme MF + MF' est égale à 2a, puisque le point M est sur l'ellipse; donc la somme MT + MT' est aussi égale à 2a , et par conséquent le point M' appartient à l'ellipse. Il suit de là que si l'on fait tourner la partie du plan qui est au-dessus de AA' pour la rabattre sur l'autre partie, chaque pomt M de ABA viendra coïncider avec son symétrique M' de AB'A' ; ce qui montre que AA' est un axe de l'ellipse.

2° M étant toujours un point quelconque de l'ellipse, abaissons MQ perpendiculaire sur BB' et prolongeons-la d'une

NOTIONS SUR QUELQUES COURBES USUELLES. 5

quantité M"Q = MQ , je dis que le point M" appartient à l*d- Bpse. En eflfet, joignons OM et OM", les triangles OMQ et OM^Q 8ont égaux comijie ayant un angle droit compris entre côtés égaux chacun à chacun ; il en résulte que les droites OM et OM" sont égales, ainsi que les angles MOQ et M"OQ ; par suite les angles MOF et M"OF , MOF et M"OF sont aussi égaux. On voit d'après cela que les triangles MOF et M"OF', MOF et M"OF sont égaux comme ayant un angle égal en 0 compris entre deux côtés égaux chacun à chacun ; d'où il suit que MF = M"P c» MF' = M'T. D'ailleurs MF + MF' est égale à 2a, donc M**F 4- M'T' est aussi égale à 2a, et, par conséquent, le point M" est sur l'ellipse. Il résulte de là que si Ton fait tourner la partie du plan qui est à droite de BB' pour la rabattre sur la partie qui est à gauche, chaque point M de BAB' viendra coïncider avec son symétrique M" de BA'B'; ce qui montre que BB' est un deuxième axe de la courbe.

Les deux axes AA' et BB' partagent ainsi TeUipse en quatre parties égales ; en sorte que la première partie AB ou , conmie Ton dit aussi, le premier quadrant étant tracé, on pourra tracer facilement les trois autres.

6. On nomme sommets de l'ellipse les quatre points A, A', B, B' où cette courbe rencontre ses axes. On appelle longtAeurs des axes les parties des axes comprises dans l'intérieur de la courbe et qui ont pour extrémités les sommets. Le plus souvent même on se sert du simple mot axe pour désigner l'une ou l'autre des longueurs AA' et BB' dont il vient d'être question. L'axe AA' est dit le grand axe ou quelquefois Vaxe focal, parce qu'il contient les foyers; l'axe BB' est le petit axe.

Nous avons désigné par 2a le grand axe AA' ; nous représenterons le petit axe par 26 et la distance des foyers ou distance focale par 2c. D'après cela on voit que le triangle rec-

tangle BOF (fig. 2) a pour hypoténuse a j et que ses autres côtés sont 6 et c; on a donc

a^zziV + c', d'où c = sla' — b\

n résulte de là qu'une ellipse est complètement déterminée quand on se donne les deux axes^ car on connaît alors la distance des foyers et la somme des distances de ces foyers à un point quelconque de la courbe.

7. On nomme centre d'une courbe un point qui partage en deux parties égales toutes les cordes qui y passent II est aisé de démontrer que l'ellipse a pour centre le milieu de la distance des foyers. Effectivement, soient F et F' les foyers d'une ellipse (fig. 3), 0 le milieu de la droite FF', et M un point de courbe ; tirons MO et prolongeons- la d'une quantité M'O = MO, joignons ensuite MT et MT'. Le quadrilatère FMF'M' est un

car ses diagonales se coupent en parties ^ales; donc MF et MT', MF' et MT sont égales; d'ail- 4Muni MF + MF' = 2a , donc on a aussi MT + MT' = 2a, ce qui prouve que le point M' est sur Tellipse et par suite que le point 0 est le milieu de toutes les cordes qui passent par ce point Le point 0 est donc le centre de l'ellipse.

8. Lorsqu'un point se meut de manière à engendrer une ligne droite ou courbe , on nomme rayon vecteur de ce point mobile sa distance à un point fixe pris à volonté ; souvent même pn emploie cette dénomination de rayon vecteur pour désigner la distance du point fixe à un point quelconque de la figure situé ou non sur la courbe. Dans la théorie de l'ellipse^ on donne généralement le nom* de rayons vecteurs aux droites qui joignent les foyers à un point quelconque du plan de la figuM.

NOTIONS SUR QUELQUES COURBES USUELLES. T

Àiosi ; d'après cette définition, on voit que la somme des rayons

ueleurs de chaque point de Vellipse est égale au grand axe.

U est bon de remarquer que l'ellipse sépare les points

du plan dont la somme des rayons vecteurs est supérieure

au grand axe, de ceux pour lesquels cette somme est inférieure au grand axe; en d'autres termes; si F et F' sont les foyers d^une ellipse dont le grand axe est 2a (fig. A), on a, pour tout point P extérieur y FP + fig. 4. FT > 2a,- et, pour tout point F inté-

rieur d la courbe, FF + FT' < 2a.

En efiet^ dans le premier cas , si Ton joint le point F au point M où FP rencontre la courbe , le triangle FMP donnera