Évanouissement du rectangle. Soit
(1) Ay«+Ba?y + CLr»+Dy + Ea?+F=0,
kiuation d'une courbe du second degré. Si Tes axes ne sont is rectangulaires , on commencera par rapporter la courbe
deux nouveaux axes rectangulaires quelconques; par cemple on pourra conserver Taxe des x et changer seulelent Faxe des y., ou inversement. Nous admettrons que ^ transformation préalable a été exécutée, et que l'équaon proposée est relative à deux axes rectangulaires.
Cela posé^ rapportons la courbe à de nouveaux axes rec^mgulaires ayant la même origine que les premiers : les forlules de transformation à employer sont
aj=a?4Cos« — ViSina, y=a?iSjna+yjCOsa,
b j réquation de la courbe devient :
(2) AV,«+B'ar^,+GV+D'yi+E'^i+F=0,
I Élisant ^ pour abréger,
A'=Acôs*a — Bsinacosa+Csin^a, B'= 2(A — C) sin acos a + B(cos* a — sin* a),
(3) { C'=Asin'a+Bsinacosoc+Ccos*a, D'=Dcosa — Esina, E'=Dsina-|-Ecosa.
n voit 9 d'après cela, que réquation (2) ne contiendra pas
\i% . ii|ipll$Tf(iB ANALYTIQUE A DEUX DIMENSiqNa.
Id fipctj^pgle des vambles, si Ton dispos^ de rindétaqppée a pour feir^
B'=Oi
cette équation revient à
(A— C)sin2a+Bcos2a=0, et Ton ^ tire :
(à) langi«=:^^^.
Désignons par 2a' Pangle compris entre 0* et i8(H dofll 1*
tangente est ^ ; les valeurs de a qui sàtisfe^nt à Vé(p^''
tion (4) seront données par la formule
où h désigne un entier. En faisant k=0^ on a a=a', ce qui donne un certain système d'axes, pour lesquels réquation de la courbe est dépourvue de rectangle ; or je dis que ce système est unique. En effets il est clair que les systèmes d'axes, qui correspondent à fc = i,fc=2, etc., ne sont autre chose que le système correspondant à k=0, et que Ton ferait tou^ ner autour de l'origine jusqu'à ce que chacun des axes eût décrit 90°, 180°, etc. Dans ce mouvement de rotation les axes s'échangent les uns dans les autres, mais il n'y a aucun changement dans leur système.
Il résulte de là que, pour une origine donnée, il existe un système unique d'axes rectangulaires pour lesquels l'équation* d'une courbe du second degré est dépourvue du rectangle des variables. A faut remarquer toutefois que cette conclusion est en défaut dans le cas du cercle. On a effec-
DES SQUATIpfij^S DU SECOND DËGH£ K DEUX VARliBLES. 143
tiyeai^t alors B=0 et Â=C (n» 86); l^équatipn (4) de-
Tient tang 2a =- cft elle est satisfaite^ quel que soit a. On
sait en effet que l'équatiqn fie la circonférence, rapporté^ à deux axes rectangulaires quelconques^ ne renferme pas le rectangle des variables.
De réquation (4), on tire :
SUl2a = -— :=i==, CQs2«:=.--7 — ;
le signe, evëc lequel il fkut prendre le raclical^ étant déterminé quand on a fixé celle des valeurs de ex que l'on choisit. Cela posé, en combinant la première et la troisième équation [3) par voie d'addition et de soustraction, il vient:
4'— C'={A— Ç)pos2a— Bsin2a= v/(A— q)'+B* ;
d^où il suit que A' et C sont les valeurs de Texpression
Il est utile de connaître ce résultat ; on formerait aisément les valeurs des co^Bcients D' et E', mais, comme les formules qui les expriment ne sont d'aucune utilité^ nous n'entrerons pas dans ce détail.
113. RédtiçtiQP! de Véqu€tti(m ff^ 9p^Qnfi degré dans h cas de Vel}ipH et dam celui de Vhyperbole. La courbe étant rappçiritée à deux axes rectangulaires, on fera disparaître de son équation les termes du premier degré, en transportant les axes parallèlement à eux-mêmes au centre de la courbe.
144 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DUiraCSIONS.
On fera disparaître ensuite le rectangle des variables en dm-
géant la direction des axes, n est clair que la seconde transformation ne rétablira pas de termes du premier degré , et l'équation de la courbe aura définitivement la forme :
Les axes coordonnés sont évidemment les axes de la courbe.
114. Réduction de P équation de la parabdle. La èourbe étant rapportée à deux axes rectangulaires, si Ton fait disparaître le rectangle des variables, le carré de Tune des variables disparaîtra en même temps, puisque la quantité B* — 4AC est toujours nulle. Si c'est , par exemple, le carré de x que Ton fait disparaître, l'éqùâtionprendra la forme :
Ay-fD'y+E'a?+F=0.
On pourra ensuite faire disparaître le terme eny et le terme indépendant , en transportant le& axes parallèlement à euxmêmes en un point {x*j y% tel que l'on ait :
Ay*+Dy-fEV+F=0,
et l'équation de la courbe aura définitivement la forin^:
Uy^ + ?x=0.
L'axe des jx est évidemment Taxe de la parabole.
115. On peut comprendre, dans une même équation à trois termes, toutes les courbes du second degré. Effectivement l'équation
qui comprend Tellipsé et l'hyperbole pjrend la forme :
si l'on transporte l'axe des y parallèlement à lui-même , de manière que la nouvelle origine soit à l'un des points où Taxe des <c rencontre la courbe. D'ailleurs l'équation précédente donne la parabole , si l'on y fait N =:0.
inuBKCicfis.
Qt^estians à résoudre.
I. La discussion de l'ellipse ou de l'hyperbole, rapportée à deux axes quelconques (n~ 96 et 98)^ met en évidence l'existence de deux diamètres conjugués , dont l'un est parallèle àl^axe des y. On demande de trouver l'équation de la courbe, en' prenant pour axes les deux diamètres conjugués dont il s'agit. (L'ordonnée Y étant immédiatement donnée en a?, U sufSra d'exprimer' j? en fonction de X. On peut se dispenser ainsi de recourb aux formules générales dala transformation deis coordonnées.)
n. La discussion de l'hyperbole, représentée par une équation privée du terme en y* (n* 101 ), met en évidence l'existence de deux asymptotes. On demande de trouver l'é* quation de la courbe en prenant les asymptotes pour axes des coordonnées.
m. Étant djonnée une courbe du second degré, on mëne^ par un point P, deux sécantes qui coupent la courbe, la première aux points A et A', la seconde aux points B et B' ; on mène également, par un autre pointp, deux sécantes parallèles aux premières et qui coupent la courbe aux points a et a', h et V respectivement. On demande de prouver que Ton a
PAxPAI poxpo^ PBxPB''~p6xp6''
146 GiOlitTRIB ANALYTHHIB A DEUI BfMEMm»»
On 3'appuiera àur oe &it que : dans Véquatiba d'usé oo du second degrés les teripes en y* eu xy et en x* ne dian pas, quand on transporte les axes parallèlement à eux-mé
IV. Étant donnés un triaûgle ÂBC et un point P^ on m par le point P-, une sécante qui coupe les côtés AC e aux points A' et B' respectivement; enfin ^ on joint AB'e qui se coupent en M. Gela posé , on demande l'équatio lieu décrit par le point M qu^d la sécante PA'B' prend U les positions possibles autour du point P. On fera voir q lieu demandé peut être l'une quelconque des trois coi du seocmd degré ou de leurs variétés. On déterminera k sition que doit avoir le point P, pour que le lieu dem soit une ligne droite ou une circonférence ou une pàral
y. Trouver le lieu décrit par Tun des sommets d'un t gledonné, lorsque les deux autres sonunets ^ meuvent pedivement sur deux droites données. Dans quel cas le doaaandé se réduit-il à une ligne droite? ' Vi. Démontrer que^ si trois courbes du second degr^ une corde commune AB , et qu'elles se coupent deux à < «d deux autpas points Cet D^ B et F, G et H, les trois ce CD, £P et GH concourent en un même point. (On pre la corde commune AB pour axe des Xy et on écrira leà é tkms des trois courbes de maiiière que, dans chacune d'e le coefficient de x^ soit l'unité. En combinant ces équt par voie de soustraction^ on obtiendra tes équations des ce Ca), BF,OH.)
