B» — 4AC=:0 BD — 2AE
Si la seconde condition n'est pas remplie, l'équation proposée représente deux droites parallèles qui peuvent se réduire à une seule ou même devenir imaginaires. Ce système de deux droites parallèles est une variété de la parabole.
Remarque IL La condition B* — 4AC=0,. relative au cas de la parabole^ exprime que le trinôme Ay' + ^^ + Car* est un carré.
103. Examinons maintenant le cas de A =0 qui échappe à la discussion précédente. A cause de B' — 4AC=:0, il faut que l'on ait B = 0 ; Téquation proposée devient alors :
Car* + Di/ + E^ + F = 0.
Si D n'est pas nul , on en tire :
Nous supposerons, pour fixer les idées, que — =- soit positif, et nous distinguerons trois cas suivant que les racines du
E F trinôme a?' + - a; + ~ sont réelles et inégales , égales ou
imaginaires.
1° Les racines du trinôme dont il s'agit étant réelles^ désignons par x' la plus petite et par x!' la plus grande^ il vient :
^ = — ^[x—x')[x—ccf').
On voit que si x croît de — oo k x'j\j décroît de +00 à zéro; si Fon fait croître a? de a?' à x"^ y part de zéro pour retenir à zéro et il est négatif dans l'intervalle. On peut écrire:
^t l'on voit que la somme des facteurs variables x — x', x" — x ^st constante et égale à a?" — x'; il suit de là que , x variant de ^^' kx"f la valeur absolue de y ira d'abord en croissant jus-
x' + x" qu'à un certain maximum qui aura lieu pour x= — ^ — ;
6lle décroîtra ensuite jusqu'à zéro. Enfin si l'on i*.ontinue de
feire croître a? de ic" à +00, y redevient positif et croît lui-
■Xfcéme jusqu'à l'infini. Qn obtient ainsi une courbe ayant deux
i^x^anches infinies, et coupant l'axe des x en deux points
(6^. 65]^ dont les abscisses sont j;' et x".
E F 2*» Si les racines du trinôme a:' +7; ^ + >, sont égales , en
«désignant par x' leur valeur, il vient :
trouve, comme dans le cas précédent , que la courbe a mx branches infinies, la seule différence consiste en ce que deux points où la courbe coupe l'axe des x sont réunis en '^xi seul; ce cas est indiqué sur la figure 65.
an GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.
3° Si le trinôme ^' + ^ a:+ - a ses racines imaginaires, la valeur de y a la forme
y = --[(x-ar + e^].
On voit que si x croît de — oo à a, y décroît de +ooà
— — 6', et que si x continue de croître de a à +qo,1(
croît lui-même de — —6* à +qo. La courbe (fig. 65) a
encore deux branches infinies^ mais elle ne rencontre pasFax€
des X.
Nous avons supposé ^
dans cette discussion ,
F que — —est positif, Iln^
aurait qu'une modifica tion légère à faire poa
fig. 65.
le cas de — - négatif
—nous n'insisterons pas dfl vantage.
Remarque. Si D est nul Inéquation ne renferm
plus la variable y ; elle représente alors deux parallèles à Fax des y, ainsi que nous en avons déjà fait la remarque.
Exempleê de dincusnion de courbes du fécond degré.
104. Nous croyons devoir présenter ici quelques exemple de discussion d'écpiations numériques.
DES Squahons dd second degrë a deux variables, m Suferul. Soit l'équation
4y'— i2a^+17a;» + 8y— 28ir— 20=0
ï" — 4AC = — 128; le lieu appartient donc au genre llipse. On tire, de l'équation proposée,
lesradnes dutpinômea;*— ar— 3 8ont — 1 et+ 3, l'équation rqirésente dooc une ellipse réelle qui a pour diamètre ladriHte
A coupe ce diamètre aux points dont les abscisses sont — let +3(fig. 66).
Construisons ce diamètre ; en faisant y=0 dans son équation , on
trouve iF = - ; et , en
fidsànt «=0, on trouve
y=: — i. Si, donc, on
prend01=-etOF=l,
la droite IF sera le diamètre demandé. Prenons 0P= 1, 0^= 3, et menons PB, PB' parallèles à l'axe Oy;
les points B et B'^ où ces parallèles rencontrent le diamètre, appartiennent à la courbe. L'ordonnée comptée à partir du diamètre est ici
si Ton fait croître a? de — là — ou i, Y croîtra de-
puis zéro jusqu'à sa valeur maximum qui est 2\/2. Prenons 0K=:1 ; menons , par le point K, ££' parallèle à Taxe des y et prenons sur cette parallèle, à partir du point où elle coupe le diamètre, les longueurs CE, CE' égales à 2\/2; la courbe, dont nous nous occupons, aura un premier arc tel que EBE' qu'on obtiendra avec une exactitude aussi grande que l'on voudra, en construisant un nombre de points suffisamment
grand. Si l'on fait croître a? de 1 à + 3, Y décroîtra de 2v^2 à zéro, ce qui donne le second arc de courbe EB'E'. La courbe est comprise dans le parallélogramme VURQ. Pour avoir les points où elle coupe les axes, il suffit défaire y=0, puis X =0 dans son équation. On obtient ainsi :
qui a pour racines les abscisses des points où la courbe coupe l'axe des x'y et
qui a pour racines les ordonnées des points où la courbe coupe l'axe des y.
Exemple IL Soit l'équation
4y*— 4icy + 2x'+8î/— 6ar + 5=0;
Où a ici B' — 4AC=: — 46, et on tire^ de l'équation proposée,
les deux racines du trinôme x* — 2ar+i sont égales à 1; réquation proposée ne représente donc que le point dont les coordonnées sont
x = i, îf=— 2*
Exemple m. Soit Téquation
y2 4a;y + 5aî*2y + 4j? + 2=0,
on a B* — 4AC= — 4, et on tire :
les racines du polynôme aî* + i sont imaginaires; par consécpient l'équation proposée représente une ellipse imaginaire.
Exemple IV. Soit Féquation
j/' — 2^î/ — x*'\-x=Oy
on a ici B* — 4AC= + 8; le lieu appartient donc au genre hyperbole. On tire de Féquation
les Racines du polynôme 2a;* — x sont 0 et 5; l'équation re-
.Jtl:
présente donc effectivement une hyperbole qui coupe le di mètre
aux points dont les abscisses sont 0 et ^. Le diamètre «i
question se construit aisément, il est la bissectrice de l'angle
yOa? (fig. 67) j prenons OA = ~ et menons , par le point A, la
flg. 67.
droite AB parallèle à Oj/. Si Ton fait croître a? de - à +qo,
Y croît de zéro à + qo et la courbe a une branche infinie co^ respondante EBE'.
Si maintenant on fait décroître a? de 0 à — co, Y croît de zéro à +00, et la courbe a une deuxième branche infinie correspondante, telle que DOD',
Il est presque superflu de dire que Y est imaginaire pour
les valeurs de a -comprises entre 0 et -.
EibmpubV. Soit l'équation
y*—iocy—&x*—2y + i6x—3=0.
On a B' — 4AG= + 365 en outre on tire, de l'équation proposée.
Les racines du trinôme 9a:* — {^-{-A sont toutes deux égales à ~, et l'équation proposée représente deux droites qui se coupent en un point situé sur le diamètre
et dont les coordonnées sont ic=-, y=^- Les équations
de ces deux droites sont
y = 5aî— 4,
ExEBiPLB VI. Soit réquation
j^«6/n/ + 8j?* + 4t/— 12a? + 3=0L ^ tx a B* — 4AC = + 4 ; l'équation proposée donne :
Xes racines du polynôme a?'-f 1 sont imaginaires et Téqua- ^îon proposée représente une hyperbole qui ne rencontre pas ^^ diamètre
soit X'X ce diamètre (fig. 68) ; l'ordonnée Y a, id, pour valeur,
Si Ton fait croître xde —<^ k 0,Y décroît depuis co jusqu'à i ; on obtient ainsi deux branches infinies telles que G'I
fig. 68.
et HTC. Si Ton continue à faire croître x de zéro à +o^? Y croît depuis 1 jusqu'à Tinfini et l'on obtient deux autres branches infinies telles que IG et KH.
Le centre de la courbe est le point D où le diamètre rencontre l'axe des y.
Exemple YII. Soit Téquation
xy — x^ — y — 1=0
Cette équation, ne renfermant pas de terme en y* et contenant le rectangle rry, représente une hyperbole. On en tire:
Dfi» ËQUATIONS DU SECOND DEGRÉ A DEUX VABUBLES. 129
Soit X'X (fig. 69) la droite qui a pour éqoatioB: et qui^ comme nous l'avons vu (n» 101)^ est une asymptote
de l'hyperbole; l'ordonnée Y^ comptée à partir de cette Mymptote, a pour valeur :
Si l'on fait crottre o? de — co à i, Y est constamment négatif et décroît de zéro à — oo; on a ainsi un arc de courbe correspondant tel que 6'G, composé de deux branches infinies qui (Hit pour asymptotes l'une X'X, l'autre la droite YT menée parallèlement à Taxe des y^ par le point de l'axe des x dont l'abscisse est 1. En continuant à faire croître j? de i à -f-oo, Y devient positif et décroît de -f-oo à zéro; on trouve ainsi
un second ^c ^) qu^ ^'I| qui a les (n^mes asfmptotos qu( le premier.
Exemple YIII. Soit TéquatioD
y' — 2xy + a?* + a?= p.
On a ici B* — 4tAG = 0; le lieu appartient donc au genri Parabole i on en tire:
Le diamètre ,
est la bissectrice X'X (fig. 70), de Tangle j/Oa? et Tordonnée Y y comptée à partir de ce diamètre , a pour valeur :
Si Ton fait croître a? de — oo à zéro, la valeur de Y décroît
de oo à zéro; on obtient ainsi la courbe COG, qui est située toute ^tîère d& même ^ côté de Taxe des y que les abscisses négatives. Effectivement Tordonnée Y est imaginaire pour les valeurs positives de x.
fUMFufX. Soit l'équation :
y* — ixy + ^^ + *î/ — ^^+ 1 =0.
DES ËQ&ATIQKS DU SECOND QSGRti A DEUX VARIABLES. 131 On a B» — 4AG = 0 , et Péquation donne :
y = a:— 2itv/3;
ce qui montre qu'elle représente (leux droites, parallèles au diamètre y = x — 2 et équidistantes de ce diamètre. Bssnru X. Soit l'équation :
On a B* — 4AC=0 et Téquaiion jproposée donne:
ou
On f oit que la courbe rencontre Taxe des x aux points B
et C (fig. 7i), qui ont pour abscisses i et 4.
Si Ton fait croître x de — Qo à +1> y décroît de + oo à zéro ; on a ainsi Tare D'EB.
Si X croît de i à 4 , y devient négatif; il décroit d'abord depuis
flgf Ti.
zéro jusqu'à son minimum — -, minimum qui correspond à
ar=^; il Gfott ensuite depuis ce minimum jusqu'à zéro; on
obtient aipsi un arc tel que BRC ; enfin si Ton continue à faire croître X de.A h-^-cOf y croît de zéro à + oo, et on obtient l'arc indéfini CD.
132 GÉOlriStRIE ANALYTIQUE A DEUX DIHENSUNÏS.
DU CSirTRB^ DBS DIAMETRES ST DES AXES DANS LES COURBES
DU SECOND DEGRli.
Du cetUre.
105. On nomme centre d'une courbe (n?* 7 et 96) un point qui divise en deux parties égales toutes les perdes qui y passent.
THioRÈME. Si un centre d'une courbe est pris pour origine des coordonnées rectilignes, V équation de. cette courbe ne change pas , quand on y remplace x par — x et y par — y. Réciproquement^ ^t Véquation d^une courbe ne change pas quand on remplace x par — xet y par — y, V origine des coordonnées est un centre de la courbe. i"" Supposons que l'origine 0 (fig. 72] soit un centre d'une
courbe; joignons un point quelconque M de cette courbe au centre 0, et prolongeons OM d'une quantité — «OM'=OM; le point M' sera aussi un point de la courbe.
De plus, si l'on mène les ordonnées MP, M'P' , il est ^8* '^- évident que les triangles MO?
et M'OP* seront égaux; d'où il suit que les coordonnées du point M' sont égales et de signes contraires à celles du point M. On voit par là que^ si Téquation de la courbe admet une solution telle que a;=:a,.yz=6^ elle admettra aussi la solution x= — a, y= — 6; en d'autre^ termes, cette équation et celle qu'on en déduit par le changement de a; et y en — x et — y, admettront les mêmes solutions ; ce qui démontre la première partie du théorème énoncé.
DES ËQUATIONS DU SECOND DEGRfi A DEUX VARUBLES. 138
2^ Supposons que l'équation d'une courbe ne soit pas altérée par le changement de a; en — x et de y en — y. Si cette équation admet la solution a? =1^ a, y = 6^ elle admettra aussi, par hypothèse, la solution a;= — a, y =c — 6. Soient H et M' (fig. 73] les deux points qui ont respectivement pour coorlonnées a et 6, — a et — 6; menons MP et MT' parallèles à Oy, tirons OM et OM'; il est aisé de voir que les triangles MOP et M'OF sont égaux, d'où Ton conclut que OM=OM' et lue JtfOM' est une ligne droite ; ce qui démontre la deuxième partie du théorème énoncé.
Remarque. Si, en particulier, un centre d'une courbe algér hiqueesi pris pour origine des coordonnées, les degrés des lermes que renferme l'équation de cette courbe sont tous Miirs ou tous impairs; et réciproquement. Ceci suppose, bien entendu, que l'équation soit préparée de manière que l'un de ses membres soit nul et que l'autre membre soit une fonction rationnelle et entière des coordonnées.
106. D'après le théorème qu'on vient d'établir, il sufiira, pour trouver le centre ou les centres d'une courbe, de transporter les axes parallèlement à eux-mêmes, de manière que l'origine prenne une position indéterminée ; puis de disposer les coordonnées de cette origine de manière à satisfaire, s'il âst possible, à la condition que nous avons reconnue être oécessaire et suffisante.
Nous nous bornerons ici à faire l'application de cette théorie aux courbes du second degré. Soit
(1) Aî/» + Ba?y + (ic« + Dy + Ea?+P=0,
l'équation d'une courbe du second degré. En transportant les axes parallèlement à eux-mêmes de manière que Torigine soit en un point indéterminé (a/, yf)j l'équation de la oourbe devient :
1S4 CÉOMlÎTRtÉ ANALYTIQUE A DÊdC btMémi<)lll!i;
Ày^Bai/+ilr»+(2Ày'+Bx'4-fl)y-|-(By-|-2C«'+E]x-|- At/'' 4- Rry + CLr" + by' + Eic' 4- F = b.
iPëtii* qde la nouvelle origine soit tm èi^trb éè Ml Mttrtoi il ftul et il suffit (11* 105) que Ton ait :
2Ay4- Rr'+D=0, By'+2Ga:'+E=à;
Tes coordonnées dh centré sont dtthc donnée^ ^itt lik tS^*^ tions
. 2Ay+ B^ + »=tt^
^^ By4-!iCir + E==:0.
Les premiers membres de ces équations (2) sont les déri-' vées du premier menlbré de l'équation (1). l^rises resp^'*' vemeht par rapport à y et par rapport à rr. On en tire :
2AE;— BP ^, , 2CD — BE ^==B^r^AG '* *=Br=:ÏAC-
Dans le cas de Peliîpsé d dans feelilî dé rfiVJ^feriïôlé, 1* quantité B*— 4AC est différéilte de ièrô; par côhs'èiiùfent ces courbes ont un centre ùnîqtié.
toans le cas de là parabole , B' — AÂG est nhl et îés équations (2) sont incompatibles ; d'où il siiît 4'ûë la co'iitbé h^iâ pas décentré. À là vérité les valeurs précédente^, dé x et
de y se présentent sous la forme -, si Ton a en outre
2AE— BD = 0 et 2CD— BE = 0; mais alors l'équation (1) représente deux droites {Parallèles , et la figure qu'elles fornient admet évidemipt^nt une infinité de centres y didnt le lieu est la ligné idroite Représentée par l'une ou Tautra des équa-* tions (2)f
EQtlATibffS bu SbbonD DBbRË A DEUX VARIAfeLES. 1^5
Des diamètres.
On nomme diamètre d'une courbe [vC 93) une ligne ui divise en deut parties ëgâleis toutes les cdHÏes !S à une même droite.
allons démontrer que^ dans une courbe du second 1 existe un diam'ètre pour chaque systèmb de cordëë »; nous donnerons en même temps le inoyen de son équation. Soient
r abrégei".
m d'une courbe du second degrés et
m d^une droite, menée par l'origine , parallèlement
aux cordes que nous ^V' voulons considérer.
Soient NN' ( fig, 73) l'une de ces cordes , ^ X* et y' les coordon* nées de son milieu M.
Si Ton itnagine que les axes soient transportés parallèlement à eux .-mêmes au
^» ''• pointM, réquation
onrbe deviendra:
A*+^,sf+îr)=^^.
I sa GÉOMÉTRIE ANALYTIQUB ▲ MQX filMENSlONS.
et celle de la droite NN' sera évidemment
(3) y=mx.
n suit de là que TéqoatioQ du second degré en x ,
(4) f{x+af,mx+j^)^0,
qu'on obtient en éliminant y entre (2) et (3), aura pour racines les abscisses des deux points N et N' ; mais^ comme ces abscisses sont égales et de signes contraires, l'équation (4f) ne doit pas renfermer la première puissance dex. Ëgidant donc à zéro le coefficient du terme du premier degré dans réquation (4), on obtiendra unç équation entre x\^ et m, qui représentera le lieu des milieux des cordes parallèles à la droite y=:iiij?;'on trouve, en fusant le calculf que cette équation est
(2Ain + B)y' + (Bm + 2C)a:' + Dm + E=:0,
ou, en supprimant les accents,
(2Am+B)y + (Bm + 2C)j? + Dm + E:;=0;
cette équation est du premier degré, elle représente donc une droite , conune on Pavait annoncé.
108. L'équation précédente peut être mise sous la forme suivante:
(2Ay + ftr+D)m + By + 2(l»+'E=0;
on voit que la partie multipliée par m est la dérivée par Rapport à y du premier membre de l'équation proposée, tandis que la partie indépendante de nr est la djérivée par rapport kxde ce même premier mem1)re. Si donc on désigne par T la première des dérivées dont il vient d'être question , par X la seconde, l'équation du diamètre, correspondant aux cordes
qui ont m pour coefficient angulaire, sera
mY+X = 0.
Les diamètres, qui correspondent aux cordes parallèles à l'axe des x et aux cordes parallèles à l'axe des y, s'obtiennent eu fidsant m=0 et fn=oo dans Téquation générale,
. mY + X=0 ou Y + -X = 0.
Oviient ainsi:'
X=0 et Y=0.
Ces deu!x dernières équations sont précisément celles qui détenninent les coordonnées du centre (n*" 106) ; lorsqu'elles sont satisfaites^ l'équation générale des diamètres est égaleii^ent satisfaite quel que soit m. Il s'ensuit qUe, dans l'ellipse 6tdans l'hyperbole, tous les diamètres passent par le centre. Réciproquement, toute droite, menée par le centre d'une ellipse ou d'iuie hyperbole, est un diamètre de cette courbe ; en effet une telle droite (n® 87] a une équation de la forme :
mY + X==0,
et, par conséquent, elle n'est autre que le diamètre qui partage en deux parties égales les cordes parallèles à la droite
y = mx.
Dans le cas de la parabole v on a B* — 4AC = 0 et les deux diamètres .particuliers
^ntpandlèles. On en déduit aisément que, dans la parabole, ^us les diamètres sont parallèles, et que toute droite parai* lèle à un diamètre ^ elle*-inème un diamètre^
138 GÉOMËtUlE ANAL^ftittlft 4 bkbx bl.VIEftSIQI».
Des diaiàiWès conjugués,
109. Deux diamètres sont dits conjugués ^ lorsque chacun d'eux diviseeqdeuxpartieségaleslescordes parallèles àl'auti'e.
La parabole ne peut avoir dé diamètres conjugués, puisqud tous les diamètres de cette courbe sont parallèles. Au contraire , à chaque diamètre de l'ellipse ou de l'hyperbole correspond un diamètre conjugué. En ^et , soient '
y=mx-{-n, y=m'X'\-n' y
les équations de deux diamètres. La condition , pour que le second divise en parties égales les cordes parallèles au premier^ est (n° 107)
fn' = — ^^à:^ ou 2Àmm' + B(m + m') + aC=0.
Cette équation est symétrique par rapp<H*t à m et m'; elto exprime donc aussi la condition pour que 1^ premier dit* mètre divise en deux parties égales les cordes parallèles au second. Donc la condition pour que les deux diamètres soient conjugués est
2Amm' + B(m + m') + 2C = 0,
Des axes.
HO. On nomme aa?e d'une courbe (n° 4) un diamètre qui est perpendiculaire aux cordes qu'il divise en deux parties égales.
n est aisé dé trouver les axes des courbes eu second d^ gré. Soit la coiu*be :
rapportée à deu^ aitës disant entre eux Tmiglé 6. Désî^[il(HH par m' le coefflctent d'indînaidéB d'to axe> fwr 'm cehii flé
DES ÉQOÀTiONS DU SËtbND btefti A DEUX VAfetABLES. lé^
cordes; on aura:
2Amm'+B(m + m')+2G=0, :
mnti + (m + ^0 cos 6 -f 1 = 0 ;
tire dé ces équations les valeurs suivantes de mm -t de m-^m', '
, , ^ A-C , âCcose— B
' B— îAcose' B— 2Acos«
'H et m' sont donc les racines de l'équation
^, ^ A— C ' aCcDse— B ^ B— 2Ab6s6^"^B— 2ACDS6""
Dans l'dlipse et dans l'hyperbole, chaque diamètre a son Conjugué; alors les racines de l'équation en ç sont les coeflScients de deux axes perpendiculah*es entre eux ; ce sont les Seuls que possède îa courbe. Si, au contraire, l'équation proposée appartient à une parabole, l'équation en C a pour \ l'une de ses racines le coefficient d'inclinaison de l'axe unique ;
ce coeflScient a pour valeur — — ou — —\ puisque tous les
diamètres sont parallèles. L'autre racine dé l'équation en X^ est le coefficient d'inclinaison des cordes que l'axe divise eii deux parties égales.
Remarque. L'une des racines de l'équation en Ç est infinie si Ton a B=2A cbs6j dans ce cas l'un des axes de la courbe est parallèle à l'un des axes coordonné^. Mais si l'on a en même temps B=:2Acos6 et A=G, Téquation en C est satisfaite identiquement, d^dù il suit que Iput diamètre est iih aie. Cette conclusion est conforme à ce qui a été dit plus haut; car^ dans le cas dont il s'agit, la courbe est un cercle (n» 86).
On nomme sommets d'ûhë côdrbe (b9 6), les points où cette courbe est rencontrée par ises axes.
140 GËOMËTRIE ANALTnOUE k DEUX DIMENSIONS.
RÉDUCTION DE l'ÉQUàTION DU SECOND DEGRE k Là' FORME U PLUS BIHPLE PAR LE CHANGEMENT DBS COORDONNEES.
111. Évanouissement des termes du premier degré. Soit Ay«+Ba:y + (lr* + Dy + Ea:+F=0,
réquation d'une courbe du second degré rapportée à deux axes rectilignes quelconques. Si B* — 4tAG n'est pas nul, auquel cas réquation représente une ellipse ou une hyperbole, on peut faire disparaître de l'équation les termes -du premier degré en transportant les axes parallèlement à eux-mêmes an centre de la courbe. Faisant donc cette opération et désignant par ^ et y' les coordonnées du centre, réquation de la courbe devient :
Ay» +Rry +Ca;» +F'=;0, où l'oQ fait, pour abréger,
Cette valeur de F' peut être simplifiée : on a eflfectivemeiit (nM06):
2Ay' + Ba:'+D=0, Bî/' + 2(lr'+E=:0;
ajoutant ces équations^ après les avoir multipliées par y' et par a/ respectivement, il vient :
ce qiii réduit la valeur de F' à '
i réquation proposée représente une parabole , la traosfor-> lation précédente ne peut évidenunent être appliquée.
