Une courbe étant rajpporlée à deux axe» de ooordon

148 GÊOIÉTRIB ANAIYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.

nées rectilignes, soient a; et y les coordonnées d'un point H de cette courbe; Tordonnée y est une fonction de Tabscisse déterminée par l'équation de la courbe. Soient a; + A et y-j-i les coordonnées d'un second point M' de la courbe; le coeflS-

dent d'inclinaison de la sécante MM'est y ( ^"^ 77)^ par con-

séquent^ le coefficient d'inclinaison de la tangente en M est

égal à la limite vers laquelle tend le rapport t-^ quand A tend

vers zéro; cette limite^ que nous désignerons par j^^ est^ conmie on l'a vu dans l'algèbre^ la dérivée de la fonction y.

Si réquation de la courbe est résolue par rapport à y, ou si cette résolution peut se faire , on pourra trouver la dérivée yf par les règles qui ont été exposées dans l'algèbre ^ et le problème des tangentes sera résolu. Mais^ si l'équation de la courbe ne peut pas être résolue par rapport à l'une des variables qu'elle renferme^ les règles qui ont été exposées ne suffisent plus pour avoir la valeur de y'. Nous allons exposer une méthode générale pour remplir cet objet.

118. La dérivée f'(x) d*une fonction f(x) de x est, par définition^ la limite vers laquelle tend le rapport '^ ' ^'^ '

quand h tend vers zéro. Si donc on fait : ou

f{x^h)-f{x)^hnx)+ht,

la quantité t s'annulera en même temps que h.

Il faut remarquer que la fonction f[x) peut renfermer dans son expression des quantités variables différentes de x et en

DES TANGENTES ET DES ASYMPTOTES. I4f

nombre quelconque. En considérant les quantités dont nous parlons comme des constantes, la précédente équation*conti^ nuera évidemment d'avoir lieu^

Cela posé, soit y une fonction de Xy déterminée par une équation de forme quelconque ,

et proposons-nous de trouver la dérivée %f de y. Donnons à x un accroissement h et désignons par h l'accroissement correspondant de y, on aura :

en retranchant les équations (1) et (2) Tune de l'autre^ il vient :

F(a? + A, y + *)-F(^, y)=0, ou

(3) [F(a?+fc, y+*)-F(a?, y+*)] + [F(x, y+*)-F(a?, y)]=0.

Désignons par <p(j?, y) la dérivée de F(x, y] considérée comme fonction de x seule, par '^[x^ y) la dérivée de F(x, y) considérée oomme fonction de y seule; on aura, d'aju^ès ce qui a été rappelé au commencement de ce numéro,

F{a?+*, y+*)— F(j?, y+k) = h^(x, y+k)+hz, e s'annulant avec A. On aura aussi :

F(x, y + Jk)F(a:, ») = *K^, y) + fe',

e' s'annulant avec k.

D'après cela, l'équation (3) peut s'écrire : ^

(A) h^(Xy y + k) + k^(Xy y)-f fa + fc'=:0.

En divisant par A et posant ft=XA, il vient :

(p(;r,, y+^h)+l^(x, y) + e + Xe'=:0i

160 GÉOMÉTRIB à!f ALYTIQUE k DEUX SIMENSIWS.

Passant à la liinite^ h, s et •' s'annulent )> âë¥iait ff el l'on a : ,

tf où .

Ainû , la dérivée de la fonèlion ^ s'obtieiidht immécHateaie&ti quand on saura trouvais les deux dérivées de ¥(âB} y) par rap^ port à a? et par rapport ky.

Remarque. Notre raisonnement sembla en défaut si ta limite j/' de X est infinie; msfîs où sauve cette difSculté en

ciierchant la limite de t au lieu de celle de t . On constate

ainsi la généralité de l'équation (5).