n résulte de ce qui précède que, si X et Y désignent

leâi côôMotmées de k tangente au point {Xy ^) d^uné cdurbe

ayant pour équation

Téquation de cette tangente sera

^[Xy y) et ^[xy y) étant, nous le répétons, les dérîvéeâ dé V{ob, if), par rapport à a? et pâf l'apport à ^ réJôpëdtHremefit.

Dans le cas des axes rectangulaires^ l'équatioti de la normale est évidemment

(Y— ?>) ?(^. ï)- (X-r «X'Ka'» y) = 0.

DES TANGfiNTKS ET DE6 ASYMPTOTES. . 151

On nomme longueurs de la tangente et de la normale les portions de la tangente et dé la Hornfttlë coriiprideâ entre le point de contact et Taxe des abscisdës^ On nomme sous-tangente et sous-normale les projections des mêmes longueurs sur l'axe des abscisses.

Des tangentes aux emrhes du second degré.

i2Ô. Soit une courbe du second degré, ayant pour équation

Ay» + Biji/+Gr»-fDy + Èr + F=0} ottàid!

<p(*,y)=By + 2Cx-fE,

et la tangente au point [x^ y) a pour équation :

{^y+Bx + tJ)fJ—y) + {By + ^Cx+.E)[X—x)==0.

On peut donnera cette équation une forme plus simple; car, si Ton fait passer les termes connus dans le second membre, il vient

{^il-^lix+h)Y-\'(J^-^^t(:x+È)X=^Ay*^ ;

mais l'équation de la courbe, multipliée par 2 donne :

2 Ay* + 2Ba;y + 2Ga;* + 2Dj/ + 2Ea; + 2F = 0 ,

d'où

2Ay* + 2Ba:y + 2Ca;* + Dy + Ea; = — (Dy + Ex' + 2F) ;

l'équation de la tangente sera donc (3Ayrl-B«-fD)Y+(B»+2Cx+E)X+Dî(+Ex+2F=0.

1&2 GËOBUÊTRlfi ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.

RSCHSRCHS PBS ASTMPTOTBS BBS COURBES. ^— APFUCATION AUX CGURBBS DU SBGOHD DEGRE.

Théorie générale dee asympoiee.

121. Nous avons dit (n'' iOl) ^a'on nomme génâralement asymptote tune branche de courbe infinie une droite, dont les points de la. courbe s'approchent iDdéfinknent, à mesure qu'ils s'éloignent indéfiniment sur la brandie

que l'on considke.

Nous allons établir ici nne méthode gêné»* raie pour trouver les asymptotes d'une çouri)e qudconque) dont on connaît l'équation ea coordonnées reetilignes.

«g. «. Toute droite CD,

non parallèle à l'axe des y (fig. 75) et asynqptote d'une J^ranche de fourbe AB, aura une équation de la forme

y=hx + ly

où A et i désignent des constantes finies et déterminées; pour les points de la branche de courbe ÂB j on aura :

V étant une fonction de Xj dont la valeur absolue décroît et a pour limite zéro, quand x augmente à partir d'une certaine limite jusqu'à Tinôm^ De cette équation , on tire".

DES TANGENTES ET DES ASYltPTOTEaS. 153

i=»i±I et l = {y^kx)—\i

passant à la limite^ c'est-à-dire faisant x:=±cGy il vient:

A = lim- et /=:lim(y — fcr).

Ainsi, pouc obtenir Iqs asymptotes d'une courbe, dont on a l'équation en coordonnées rectilignes, il faudra d'abord cher^ cher^ au moyen de Téquation dé la courbe^ la limite ou les

limites du rapport.- pour a; = oo ; ce qui donnera les coefficients'angulaires des asymptotes. On obtiendra ensuite l'ordonnée à l'origine de chaque asymptote^ dont le coefficient angulaire k aura été ainsi déterminé, en cherchant la limite ( de la difierence y—'kx pour ar=oo.

La méthode pïrécédente donne les asymptotes parallèles à l'axe des Xj asymptotes pour lesquelles on a i=0; mais elle exclut évidemment les asymptotes parallèles à Taxe des y et pour lesquelles lé coefficient angulaire est infini. Si Ton avait représenté généralement par x=ky'\-l l'équation d'une asymptote^ on aurait trouvé, en raisonnant comme nous l'avons

Eût, A=lim~ et /=:lim(a; — ky)y ce qui aurait permis.de

trouver lés asymptotes parallèles à l'axe des y; mais on aurait exclu les asymptotes parallèles à l'axe des x.

Au surplus on peut trouver directement et très-simplement les asymptotes parallèles à l'un des axes. Supposons, par exemple, qu'une courbe ait une asymptote parallèle à l'axe des y et dont l'équation soit

il est clair, que l'ordonnée de là bnnche correspondante

164 GËOMÉTRIE AMALYTIQIJE A DKUX DIMEIISIONS.

augmente indéfiniment quand x tend va% la limite a, et que Ton a y =00 pour a?=ot. On aura donc les asympiotes parallèles ài Taxe des ^, en cherchant^ au moyen de Téquation de la courbe^ les valeurs finies de a: pour lesquelles y est infini. Pareillement^ la recherche des asymptotes parallèles à Taxe des x se ramène à la détermination des valeurs finies de y pour lesquelles x est infini.

I22. Nous allons appliquer la méthode générale, (jui vient d'être exposée au cas particulier des courbes algébriques. Nous supposerons que le second membire de l'équàtioh de là courbe clont il s'agit soit nul, et -que le'premier menlbre seil une fonction entière du degré m des coordonnées a? et y. On petrt grouper ensemble les ternies de même degré, de telle tdafilëte que les différents groupes, dont Inéquation est côinposée^ âoieilides fonctions homogènes des degrés m, (in — l);

(m — ^2), % 1, 0 respectivement; riotre éqhation peut doiic

s'é(sKrë AÛ%\, conformément à ce qui a été dit au n^ 36,

fifiyfiy**' désignant des polynômes dopl le dernier est du degré zéro, c'est-à-dire, est une simple constante. En divisant l'équation (i) piai* af^y il vtent :

faisant i;=do, et désignailt pat^ k, tstfimie piiÈè haut, U limite de-, il vient:

telle est Féquatiod qui fera eOnnsttre les ceeffîeioits wgiH

DES TANGENTES ET m» ASTMPTOTBSi 165

laires des asymptotes non parallèles à Taxe des y. Consi-

> dérôns, en particulier^ Tune des racines réelles k de Té-

quation (2), et posons y—hx=u, d*oii 5= * + -; Téqua-

• tion(t)defteÉtli

(léf«io|iptttitohàeo^

suhraiH ]m {lùtsaanoes dé —, ohseivàiA qnë f(k) est nuT^ et

dénotant les dérivées f^ar des accents , à la manière ordinaire, il vient :

En divisant l'équation (3) par x"*^, faisant ensuite x=oo, et observant qu'alors u=/ , il vient :

iA*)+A(*)=o, d'où '=-^.

Cette valeur de lest infinie si /' (k) est nul ^ que /^( A) ne te 8oh |Mis; dftoe oe cas^ U n'y a point d'asymptote correspott* dante à la valeur de k que l'on considère. Si f^(k) est nul fin <i)éiQe temps que f(k), la valeur de 1 se présente 9ous la

fonne -, et on ne peut rien conclure de ce qui précède. Mais,

dans ce cas , le coefficient de x"^^ dans Téquation (3) est identiquement nul^^ si l'on divise alors Fécpiatian par x'^^ <!t 9i'«i faasa ensuite « =s co , il vi^ :

156 GÉOMËTRIE AltALYTIQUE A DEUX DlKENSiONS.

équation du second degré, qui donnera^ en général , deux valeurs pour {. Dans le cas que nous examinons ^ il ja deux asymptotes parallèles, correspondantes à la valeur dal que Fon considère; cette valeur est une racine double de l'équation (2) , puisqu'on a /'(*)=^ et f'[k)=0. Il faut remarquer toutefois que les deux asymptotes^ dont nous pa^ Ions, cessent d'exister, si les racines de l'équation du second degré en { sont imaginaires ou infinies.

Si les trois coefficients r(^)^ f\ (%Yé(*) de l'équatioaenl sont nuls y en même temps que f\k) et f^ [k) , l'équation &ï I est identique ; alors il peut y avoir trois asymptotes parallèiaiy correspondantes à la valeur de k que l'on considère , et on les détermine en poursuivant la marche que nous cto^w avoir suffisamment indiquée.

Remarque L Si l'équation proposée du degré m ne renferme pas de termes du d^ré^ m— 1 , le polynôme ^ est identi<|a& faent nul ; on a, par suite, en général ,1=0; d'où il suit qu( les asymptotes passent par Forigine des coordonnées. Or, s la courbe que l'on considère a un centre et que l'on prenni ce centre pour origine des coordonnées, on sait que Téquation de la courbe ne renferme aucun terme, du degré m— 4 d'oiLl'on peut condure que, le cas des asymptotes parallèle étant excepté,

Lùrsqu'une courbe algébriques^ un centre j toutes les osymp totes passent par ce centre.

Remarque IL Dans le cas le plus général d'une équatioi du degré m, le polynôme f est lui-même du degré m; d'oi il suit qu'une courbe algébrique du degré m ne peut avoi plus de m asymptotes. Mais il faut remarquer qu'elle peut ei