Soit

Féquation d'une hyperbole rapportée à ses asymptotes, et 0

Tangle formé par ces asymptotes; soient G et M (fig. lil)

deux points de la

courbe, dont le prenùer

sera oontîdécé comme

fixe et le seûond comme

mobile. Dés%ÎK>n8 par

a Pabscisse du point C

et par (T celle du point

M. Soient enfin ii Faire

du trapèze CDPIA formé

y/ par Taxe des x. Tare CM

fis- iH. et les ordonnées de ses

m* extrémités. L'ordonnée du .point M étant — .la dérivée W de

l'aire u, considérée comme fonction de of^ a pour valeur

u'=:m*sin6x~;

or, si l'on désigne par / les logarithmes népériens, on sait

que la fonction i»*sin6xte a pour dérivée m*sin6 X-;

on aura donc (n** 159) : .

ou

tt=m'sinôxte — m^sin^xla

w = m^sin6x/-.

Cette formule se simplifie dans le cas de l'hyperbole équilatère. On a alors sin6 = l et, si Ton prend m pour l'unité, il vient : ^

Enfin si Fon met le point C au sommet de la courbe^ on a a=i éty par suite,

Cette pmfonétë des logarithmes népériens^ d'exprimer ainsi Taire Afdpïfpeià)o\e , a fait donner à ces logarithmes le nom fkupenokques.

Remarque. Ce qui précède permetde trouver inuqédiatement Taire d'un segment hyperbolique ; car cette aire est la diCférenœ entre Taire d'un trapèze rectiligne fadie à évaluer et Paire dont nous venons de nous occuper.

QueiUans â résoudre (*).

I. Étant donnée une hyperbole équilatère^ on inscrit dans cette courbe un triangle ABC rectangle en A, et Ton abaisse du point A la ligne AD perpendiculaire sur Thypoténuse BC; on propose de démontrer que la ligne AD est tangente à la courbe. (Cette question est comprise comme cas particulier dans la première des questions proposées à la fin du ëhapit^ V, page 161.)

n. Trouver le lieu des sommets des triangles qui ont même base 9 et dans lesquels la différence des angles à la base est constante..

m. Étant donnée tme ellipse ou une hyperbole, on mène

(*) On peut proposer poiir l'hyperbole des qaesUons analogue à edles relatives à FeUipse et.qai ont été résolues ou seulement indiquées dans le chapitre précédent. Nous engageons le lecteur à reprendre ici ces questions et à eiumniner \ee modifications qu'elles subissent dans le passage de l'elUpae à lliypeibole.

une corde CDj et on joint les extrémités G etDdei cette corde aux extrémités A et A' de Taxe focal. Cela posé j on demande de trouver le lieu décrit par le point d^intersection M des lignes AC et AD quand la corde CD se meut en restant parallèle à elle-même.