ANGLES D^UNB DROITE AVEC LES AXES

439--Dans les questions relatives à la ligne droite, que nous avons traitées jusqu'à présent, excepté dans la question précédente, nous n'avons fait aucune hypothèse sur les coordonnées; dans tout ce qui suit, nous supposerons les coordonnées rectangulaires.

Soient a? = a;5-f-p, y = 6js + g les équations d'une droite.

La parallèle OL menée par Torigine (fig. 260) aura pour équations

x = az, y = bz.

Désignons par a, p, y ^^ angles que fait la droite OL avec les axes. Prenons sur cette droite un point M, Fis- 260. situé à une distance l de Torigine.

Les coordonnées x^ y, z du point M étant les projections orthogonales de la droite OM sur les axes, on a

a? = Icosa, y=/cosP, 5 = icosY.

Si l'on substitue ces valeurs dans les équations de la droite OL,

il vient

cos a = a cos y, cos ^ = 6 cos y,

et^ par suite,

/ V costt cosp cosy ±:i /

Le double signe se rapporte aux deux directions de la droite. PAm UN pomr umm uin raorn qui fassb aybg les axes

ras ANGUSS DOiniÉS.

437— Proposons-nous de mener par le point H^ dont les coordonnées sont xf, yf, z', une droite qui fasse avec les axes des coordonnées rectangulaires les angles a, ^, y. La droite cherchée est représentée par des équations de la forme

mais on a

cosa . cosB

cosy cosy

on en déduit

(12) = ^ — rr = •

^ cosa cosp cosy

On peut obtenir directement ces équations; si l'on désigne par X, y, z les coordonnées d'un point quelconque M de la droite, et par p la distance M^M^ les diOérences x — a/, y — yfy z — z' sont les projections de la longueur M^M sur les axes des coordonnées. D'un autre côté, si la longueur H' M est comptée à partir du point M' dans la direction qui fait avec les axes les angles a, % y^ ces projections sont égales à pcosa^ pcos^, pcosy ; si la longueur M' H est comptée dans la direction opposée, ces projections sont égales à — p cosa, — p cosp, — cosy. On a donC; dans tous les cas,

X — a/=pcosa, y — y'=pco8p, s — z'^pcosy, X — xf V — î/ z — z'

ou — '^ ^ = = p,

cosa cosp cosy ^

en convenant de regarder la longueur p comme positive ou uégative, suivant qu'elle est parcourue dans la première direction ou dans la direction opposée.

dm LIVRE V, CHAPITRE III.